发布时间 : 星期一 文章垂直关系的判定解析版更新完毕开始阅读88d188db998fcc22bdd10d21
2．面面垂直性质的应用
如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，AF∥BE，AF⊥
[来源:学科网ZXXK]EF，AF=EF=
1BE.求证：EA⊥平面ABCD. 2
思路分析：解答本题的关键是证明EA⊥AB，为此应该在平面四边形ABEF中，利用AF∥BE，AF⊥EF，AF=EF=
1BE等条件计算AB，AE，BE的长度，利用勾股定理逆定理证明． 2证明：设AF=EF=a，则BE=2a. 过A作AM⊥BE于M，
∵AF∥BE，∴AM⊥AF. 又∵AF⊥EF，∴AM∥EF， ∴四边形AMEF是正方形．
∴AM＝a，EM＝MB＝a，∴AE＝AB＝2a， ∴AE2＋AB2＝EB2，∴AE⊥AB. 又∵平面ABCD⊥平面ABEF， 平面ABCD∩平面ABEF＝AB，
AE平面ABEF，∴EA⊥平面ABCD.
1．(2011江苏高考，16)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，
∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．
求证：(1)直线EF∥平面PCD；
(2)平面BEF⊥平面PAD.
证明：(1)在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.
又因为EF平面PCD，PD平面PCD， 所以直线EF∥平面PCD.
(2)连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.
又因为BF平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.
2．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1.
(1)求证：AF∥平面BDE； (2)求证：CF⊥平面BDE.
证明：(1)如图，设AC与BD交于点G.
1
因为EF∥AG，且EF＝1，AG＝AC＝1，
2
所以四边形AGEF为平行四边形． 所以AF∥EG.
因为EG平面BDE，AF平面BDE， 所以AF∥平面BDE. (2)连接FG.
因为EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1， 所以四边形CEFG为菱形． 所以CF⊥EG.
因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.
又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF. 所以CF⊥BD.又BD∩EG＝G， 所以CF⊥平面BDE.
应用面面垂直的性质定理要注意的两个问题：
(1)应用面面垂直的性质定理时，四个条件缺一不可：“α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l.” (2)应用面面垂直的性质定理时，一般要作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点，作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直．
特别提醒：应用面面垂直的性质定理时，恰当利用平面几何知识，在其中一个平面内寻找交线的垂线是关键．
3．线线、线面、面面垂直的综合应用
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°，侧面PAD
为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.若G为AD边的中点．
(1)求证：BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB；
(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找一点F，使得平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．
(1)证明：∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD边的中点，∴BG⊥AD. 又∵平面PAD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴BG⊥平面PAD.
(2)证明：连接PG，则PG⊥AD，
由(1)得BG⊥AD，
又∵PG∩BG＝G，BG平面PBG， PG平面PBG， ∴AD⊥平面PBG.
∵PB平面PBG，∴AD⊥PB.
(3)解：当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD. 证明如下：
取PC的中点F，连接DE，EF，DF， 则由平面几何知识， 在△PBC中，EF∥PB，
在菱形ABCD中，GB∥DE，
而EF平面DEF，ED平面DEF， EF∩DE＝E，
PB平面PGB，GB平面PGB， PB∩GB＝B，
∴平面DEF∥平面PGB.
又∵侧面PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD. 又∵侧面PAD所在平面垂直于底面ABCD， ∴PG⊥平面ABCD，而PG平面PGB， ∴平面PGB⊥平面ABCD. 故平面DEF⊥平面ABCD.
在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥平面ABC，∠ACB＝90°.
(1)求证：BC⊥AA1；
(2)若M，N是棱BC上的两个三等分点，求证：A1N∥平面AB1M.
证明：(1)因为∠ACB＝90°，所以AC⊥CB.
又侧面ACC1A1⊥平面ABC，且平面ACC1A1∩平面ABC＝AC， BC平面ABC，所以BC⊥平面ACC1A1. 又AA1平面ACC1A1，所以BC⊥AA1. (2)连接A1B，交AB1于点O，连接MO，
[来源:Zxxk.Com]
在△A1BN中，O，M分别为A1B，BN的中点， 所以OM∥A1N.
又OM平面AB1M，A1N平面AB1M， 所以A1N∥平面AB1M.
(1)线线、线面、面面垂直间的关系：
(2)线线、线面、面面的垂直是从低维到高维逐层推进的，其中线面垂直是纽带．
1．直线l⊥平面α，直线m平面α，则l，m的位置关系是( )． A．相交 B．异面 C．平行 D．不平行 答案：D
2．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点P∈l，给出下面四个结论： ①过P与l垂直的直线在α内； ②过P与β垂直的直线在α内； ③过P与l垂直的直线必与α垂直； ④过P与β垂直的平面必与l垂直． 其中正确的命题是( )．
A．② B．③ C．①④ D．②③
解析：因为α⊥β，α∩β＝l，P∈l，所以过点P作β的垂直直线必在平面α内且和l垂直． 答案：A
3．(2011浙江高考，理4)下列命题中错误的是( )．
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
解析：A选项正确，只需α内的直线平行于α与β的交线即平行于β；B正确，根据面面垂直的判定定理，若α内存在直线垂直于β，则α⊥β；C正确，设α内a⊥r，β内b⊥r，α∩β＝l，则a∥b，所以a∥β，根据线面平行的性质定理，所以a∥l，所以l⊥r.D错误，平面α内可以存在直线平行于交线而不垂直于平面β.
答案：D
4．已知直线l，m与平面α，β，γ满足β∩γ＝l，l∥α，mα和m⊥γ.写出能得到的一个面面垂直且线线垂直的关系式：________.
答案：α⊥γ且l⊥m
5．已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝a，M，N分别是AB，PC的中点，求证：平面MND⊥平面PCD.
证明：取PD的中点E，连接AE，NE，如图．
∵M，N分别是AB，PC的中点，
11
∴EN＝CD＝AB＝AM，且EN∥CD∥AB.
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∴四边形AMNE是平行四边形． ∴MN∥AE.
∵在等腰直角三角形PAD中，AE是斜边上的中线，∴AE⊥PD.
又CD⊥AD，CD⊥PA，∴CD⊥平面PAD.∴CD⊥AE.又CD∩PD＝D，∴AE⊥平面PCD.又MN∥AE，∴MN⊥平面PCD.又MN平面MND，
∴平面MND⊥平面PCD.