发布时间 : 星期二 文章2015.2李建泉(数论)讲义更新完毕开始阅读89e23ce2a417866fb94a8e63
23261.求所有素数p,q，使得pq?1,qp?1。
2.求所有正奇数对?m,n?，使得n3m?1,mn2?3。
3.已知n是大于1的正整数，求n元正整数组a1,a2,?,an的数目，其中a1,a2,?,an两
a?2a???an。两不同且两两互素，并满足对于任意的i?1?i?n?，有a1?a 2???an1iii4.证明对于任何正整数m，存在无穷多个整数对?x,y?，使得x,y互素，且
yx2?m,xy2?m。
n2p?15.设p是素数，且满足p2?1，证明对于任意的正整数n，?p?1?p!?2至少
??有三个不同的素因数。
26.已知p是一个大于5的素数，若存在正整数k，使得k?5能被p整除，证明存在正
整数m,n，使得p2?m2?5n2。
7.求所有正整数对?m,n?，使得2?n?m!。
n8.证明不存在整数x,y,z?x?0?，满足2x4?2x2y2?y4?z2。
9.设正整数n的所有正因数为d1,d2,?,dl，且满足1?d1?d2???dl?n，若
d72?d152?d162，求d17的所有可能的值。
10.已知p为奇素数，a1,a2,?,ap?2为一列正整数，使得对于k??1,2,?,p?2?，均
k有p不整除ak，p不整除ak?1，证明在a1,a2,?,ap?2中存在若干个数，它们的乘积模p余2。
11.求2561?2,3561?3,?,561561?561的最大公因数。
12.将素数从小到大排列为p1,p2,p3,?,pn,?，设sn??pi?1ni，求证对于任意正整数
n，存在一个完全平方数an，使得sn?an?sn?1。
13.?1?是否存在正整数a,b，使得对于任意正整数n，数2a?5b是完全平方数？?2?nn是否存在正整数a,b,c，使得对于任意正整数n，数2a?5b?c是完全平方数？
nn 1
14.设f?x??x??kx?,x?0,k?2,f1?x??f?x?,fn?1?x??f???f?x??，证明对于每
n个给定的正整数a，数列fn?a?中必有一项是某个整数的k次方。
15.设整数数列?an??n?1,2,??满足a1??5,a2??6，对于任意正整数n?2，均有
??an?1?an??a1?1??2a2?1????n?1?an?1?1??n2?n?an?2n?1，证明若素数p满足：
对于某个正整数n，有p整除nan?1，则存在正整数m，使得m2?5?modp?。
16.试用一个关于n的函数表示乘积9?99?9999???10?1在十进制下各位数字之和。
17.已知整数k?5，用k进制表示给定的正整数，将这个k进制的数的各位数码之和与
???2n??k?1?2的积写在给定的正整数的后面，对于所得到的新的数，继续这种运算，得到一个数
列，证明从某个数开始，其后面的数全相等。
?1?5?18.证明每个正整数都可以表示为有限个?????的整数???的不同整数次幂的和。2??次幂为?的形式，其中i是整数。
19.已知正整数a，Sa是由素数构成的集合，且满足：对于任意的p?Sa，存在一个奇
2数b，使得p2aib?1，证明对于任意正整数a，存在无穷多个素数不在Sa中。
20.求最小的正整数m，使得对于所有的正整数n?m，都存在非负整数a,b，使得
n?5a?11b。
21.证明存在正整数n0，使得对于任意正整数n?n0，任意一个非零有理数的立方都可以写成n个非零有理数的立方之和。
22.某人掷硬币，正面得a分，背面得b分，其中a,b为正整数，且a?b，他每次将得分进行累计，结果不论他采取怎样的投掷方案以及投掷多少次，都恰有35个分值总记录不到，其中58就是记录不到的分值之一，试求a,b的值。
23.在10?10的每个方格C?i,j??1?i,j?10?内填入数1,2,?,100，每个方格恰填一个数，问是否可以满足下列条件?1?每行方格内的数之和为S；?2?每列方格内的数之和为
S；?3?对于k?1,2,?,10，满足i?j?k?mod10?的方格C?i,j?内所填数之和为S。
24.证明在坐标平面上不存在一条具有奇数个顶点，每段的长为1的闭折线，它的每个顶
2
点的坐标都是有理数。
25.已知n?2为固定的整数，定义任意整点?i,j?模n的余数为i?j模n的余数，求所有的正整数组?a,b?，使得以?0,0?,?a,0?,?a,b?,?0,b?为顶点的长方形具有如下性质：?1?长方形内整点模n的余数分别为0,1,2,?,n?1所出现的次数相同；?2?长方形边界上整点模n的余数分别为0,1,2,?,n?1所出现的次数相同。
26.正整数a0,a1,?,a9和b1,b2,?,b9满足a9?b9，ak?bk?1?k?8?。一个取款机中有n元钞票，其中n为正整数，且n?a9。对于任意的1?i?9，若取款机中至少有ai元钞票，可以取ai元钞票，然后银行马上在取款机中放入bi元钞票，允许取a0元钞票，而银行不往取款机中放入钞票，求所有的正整数n，使得经过上述操作，将取款机中的钞票全取出来（即取款机中没有钞票了）。
3