发布时间 : 星期六 文章材料力学复习总结更新完毕开始阅读89e9b2cc53e79b89680203d8ce2f0066f53364a5
式中，M是横截面上的弯矩；IZ的意义同上；y是欲求正应力的点到中性轴的距离
最大正应力出现在距中性轴最远点处 ?max?MmaxM?ymax?max （3-18） IzWz式中，Wz?Iz12?3称为抗弯截面系数。对于h?b的矩形截面，Wz?bh；对于直径为D的圆形截面，Wz?D；对于ymax632内外径之比为a?d?3的环形截面，Wz?D(1?a4)。 D32若中性轴是横截面的对称轴，则最大拉应力与最大压应力数值相等，若不是对称轴，则最大拉应力与最大压应力数值不相等。
3.2梁的正应力强度条件
梁的最大工作应力不得超过材料的容许应力，其表达式为 ?max?Mmax???? （3-19） Wz对于由拉、压强度不等的材料制成的上下不对称截面梁（如T字形截面、上下不等边的工字形截面等），其强度条件应表达为
?lmax?Mmaxy1???t? （3-20a） IzMmaxy2???c? （3-20b） Iz?ymax?式中，??t?,??c?分别是材料的容许拉应力和容许压应力；y1,y2分别是最大拉应力点和最大压应力点距中性轴的距离。
QSz?3.3梁的切应力 ?? （3-21）
Izb式中，Q是横截面上的剪力；Sz是距中性轴为y的横线与外边界所围面积对中性轴的静矩；Iz是整个横截面对中性轴的惯性矩；b是距中性轴为y处的横截面宽度。 3.3.1矩形截面梁
切应力方向与剪力平行，大小沿截面宽度不变，沿高度呈抛物线分布。
??6Q?h2切应力计算公式 ??3??y2? （3-22）
bh?4?最大切应力发生在中性轴各点处，?max?3Q。 2A3.3.2工字形截面梁
切应力主要发生在腹板部分，其合力占总剪力的95~97%，因此截面上的剪力主要由腹板部分来承担。
?Q?Bb?h2222?H?h??y切应力沿腹板高度的分布亦为二次曲线。计算公式为 ???????? (3-23)
Izb?82?4??
近似计算腹板上的最大切应力：
?max?Fdhs1 d为腹板宽度 h1为上下两翼缘内侧距
3.3.3圆形截面梁
横截面上同一高度各点的切应力汇交于一点，其竖直分量沿截面宽度相等，沿高度呈抛物线变化。
最大切应力发生在中性轴上，其大小为 ?max?d22dQ??QSz?83??4Q （3-25） ???d4Izb3A64?d圆环形截面上的切应力分布与圆截面类似。
3.4切应力强度条件
梁的最大工作切应力不得超过材料的许用切应力，即 ?max?QmaxSz?max????? (3-26)
Izb式中，Qmax是梁上的最大切应力值；Szmax是中性轴一侧面积对中性轴的静矩；Iz是横截面对中性轴的惯性矩；b是?max处截面的宽度。对于等宽度截面，?max发生在中性轴上，对于宽度变化的截面，?max不一定发生在中性轴上。 4.2剪切的实用计算
Q （3-27） AQ剪切强度条件：剪切面上的工作切应力不得超过材料的 许用切应力???,即 ?????? （3-28）
A名义切应力：假设切应力沿剪切面是均匀分布的 ，则名义切应力为 ??5.2挤压的实用计算
名义挤压应力 假设挤压应力在名义挤压面上是均匀分布的，则 ?bs?Pbs???bs? （3-29） Abs式中，Abs表示有效挤压面积，即挤压面面积在垂直于挤压力作用线平面上的投影。当挤压面为平面时为接触面面积，当挤压面为曲面时为设计承压接触面面积在挤压力垂直面上的 投影面积。
挤压强度条件挤压面上的工作挤压应力不得超过材料的许用挤压应力 ?bs?P???bs? （3-30） Abs1， 变形计算
圆轴扭转时，任意两个横截面绕轴线相对转动而产生相对扭转角。相距为l的两个横截面的相对扭转角为
???Tdx (rad) (4.4) 0GIPl若等截面圆轴两截面之间的扭矩为常数，则上式化为
??Tl (rad) (4.5) GIP 图4.2
式中GIP称为圆轴的抗扭刚度。显然，
?的正负号与扭矩正负号相同。
公式（4.4）的适用条件：
（1） 材料在线弹性范围内的等截面圆轴，即???P；
（2） 在长度l内，T、G、IP均为常量。当以上参数沿轴线分段变化时，则应分段计算扭转角，然后求代数和得总扭
转角。即 ??Tili (rad) (4.6) ?GIi?1iPin当T、IP沿轴线连续变化时,用式(4.4)计算?。 2， 刚度条件
扭转的刚度条件 圆轴最大的单位长度扭转角?'max不得超过许可的单位长度扭转角??'?,即
?'max?Tmax???'? (rad/m) (4.7) GIPTmax180?式 ?'max?????'? （?/m） （4.8）
GIP?2，挠曲线的近似微分方程及其积分
在分析纯弯曲梁的正应力时，得到弯矩与曲率的关系
1MEI??
1M?x?? ??x?EI对于跨度远大于截面高度的梁，略去剪力对弯曲变形的影响，由上式可得
利用平面曲线的曲率公式，并忽略高阶微量，得挠曲线的近似微分方程，即 ?''?将上式积分一次得转角方程为 ???'??M?x?dx?C （4.10）
EIM?x? （4.9） EI?M?x??dx?dx?Cx?D （4.11） 再积分得挠曲线方程 ?????EI??式中，C,D为积分常数，它们可由梁的边界条件确定。当梁分为若干段积分时，积分常数的确定除需利用边
界条件外，还需要利用连续条件。 3，梁的刚度条件
限制梁的最大挠度与最大转角不超过规定的许可数值，就得到梁的刚度条件，即 ?max???? ，?max???? （4.12） 3，轴向拉伸或压缩杆件的应变能
在线弹性范围内，由功能原理得 V??W?1F?l 22FlFl当杆件的横截面面积A、轴力FN为常量时，由胡克定律?l?N，可得 V??N （4.14）
2EAEA
杆单位体积内的应变能称为应变能密度，用V?表示。线弹性范围内，得 V?? 4，圆截面直杆扭转应变能 在线弹性范围内，由功能原 Vr?W?1Me? 21?? （4.15） 2TlT2l将Me?T与??代入上式得 Vr? （4.16）
GIP2GIP图4.5
1根据微体内的应变能在数值上等于微体上的内力功，得应变能的密度Vr： Vr??r （4.17）
2 5，梁的弯曲应变能
在线弹性范围内，纯弯曲时，由功能原理得
1 V??W?Me?
2M2lMl将Me?M与??代入上式得 V?? （4.18）
2EIEI 图4.6
横力弯曲时，梁横截面上的弯矩沿轴线变化，此时，对于微段梁应用
M2?x?dx式（4.18），积分得全梁的弯曲应变能V?，即V???
2EIl（4.19）
2．截面几何性质的定义式列表于下：
静 矩 惯性矩 惯性半径 惯性积 极惯性矩 Sy??zdA AIy??z2dA Aiy?IyAIyz??yzdAAIp??p2dA A Sz??ydAAIz??y2dA Aiz? Iz A3．惯性矩的平行移轴公式
Iy?IyC?a2A Iz?IzC?b2A
静矩：平面图形面积对某坐标轴的一次矩，如图Ⅰ-1所示。 定义式： Sy?zdA，Sz?A??AydA （Ⅰ-1）
量纲为长度的三次方。
由于均质薄板的重心与平面图形的形心有相同的坐标zC和yC。则
A?zC??z?dA?Sy
A