发布时间 : 星期三 文章2018年中考数学试卷分类汇编 代数综合 - 图文更新完毕开始阅读89fd195f4bfe04a1b0717fd5360cba1aa9118c34
代数综合
1、（2013? 德州）下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（ ） 22 A． y=﹣x+1 B． y=x﹣1 D． y=﹣x+1 1 C．y? x 考点： 二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质． 分析： 根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断． 解答： 解：A、y=﹣x+1，一次函数，k＜0，故y随着x增大而减小，错误； 2B、y=x﹣1（x＞0），故当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；而在对称轴左侧（x＜0），y随着x的增大而减小，正确． C、y=，k=1＞0，在每个象限里，y随x的增大而减小，错误； 2D、y=﹣x+1（x＞0），故当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而减小；而在对称轴左侧（x＜0），y随着x的增大而增大，错误； 故选B． 点评： 本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数的增减性（单调性），是一道难度中等的题目．
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2、（2013?攀枝花）如图，抛物线y=ax+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1.0），C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
考点： 二次函数综合题． 分析： （1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式； （2）过点P作x轴的垂线，交AC于点N，先运用待定系数法求出直线AC的解析式，2设P点坐标为（x，x+2x﹣3），根据AC的解析式表示出点N的坐标，再根据S△PAC=S△PAN+S△PCN就可以表示出△PAC的面积，运用顶点式就可以求出结论； （3）分三种情况进行讨论：①以A为直角顶点；②以D为直角顶点；③以M为直角顶点；设点M的坐标为（0，t），根据勾股定理列出方程，求出t的值即可． 学习是一件快乐的事情，大家下载后可以自行修改 1
解答： 解：（1）由于抛物线y=ax+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），可设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x﹣1）， 将C点坐标（0，﹣3）代入，得： a（0+3）（0﹣1）=5，解得 a=1， 2则y=（x+3）（x﹣1）=x+2x﹣3， 2所以抛物线的解析式为：y=x+2x﹣3； （2）过点P作x轴的垂线，交AC于点N． 设直线AC的解析式为y=kx+m，由题意，得 ，解得， 2∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣3． 2设P点坐标为（x，x+2x﹣3），则点N的坐标为（x，﹣x﹣3）， 22∴PN=PE﹣NE=﹣（x+2x﹣3）+（﹣x﹣3）=﹣x﹣3x． ∵S△PAC=S△PAN+S△PCN， ∴S=PN?OA =×3（﹣x﹣3x） =﹣（x+）+22， ，此时点P的坐标为（﹣，﹣）； ∴当x=﹣时，S有最大值 （3）在y轴上是否存在点M，能够使得△ADE是直角三角形．理由如下： 22∵y=x+2x﹣3=y=（x+1）﹣4， ∴顶点D的坐标为（﹣1，﹣4）， ∵A（﹣3，0）， 222∴AD=（﹣1+3）+（﹣4﹣0）=20． 设点M的坐标为（0，t），分三种情况进行讨论： ①当A为直角顶点时，如图3①， 2222222由勾股定理，得AM+AD=DM，即（0+3）+（t﹣0）+20=（0+1）+（t+4）， 解得t=， 所以点M的坐标为（0，）； ②当D为直角顶点时，如图3②， 2222222由勾股定理，得DM+AD=AM，即（0+1）+（t+4）+20=（0+3）+（t﹣0）， 解得t=﹣， 所以点M的坐标为（0，﹣）； ③当M为直角顶点时，如图3③， 学习是一件快乐的事情，大家下载后可以自行修改 2
由勾股定理，得AM+DM=AD，即（0+3）+（t﹣0）+（0+1）+（t+4）=20， 解得t=﹣1或﹣3， 所以点M的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣3）； 综上可知，在y轴上存在点M，能够使得△ADE是直角三角形，此时点M的坐标为（0，）或（0，﹣）或（0，﹣1）或（0，﹣3）． 2222222 学习是一件快乐的事情，大家下载后可以自行修改 3
点评： 本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的顶点式的运用，勾股定理等知识，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键． 3、（2013达州压轴题）如图，在直角体系中，直线AB交x轴
于点A（5，0），交y轴于点B，AO是⊙M的直径，其半圆交AB于点C，且AC=3。取BO的中点D，连接CD、MD和OC。 （1）求证：CD是⊙M的切线；
（2）二次函数的图象经过点D、M、A，其对称轴上有一动点P，连接PD、PM，求△PDM的周长最小时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，当△PDM的周长最小时，抛物线上
是否存在点Q，使SQAM?1S6PDM？若存在，求出点Q的
坐标；若不存在，请说明理由。 解析：（1）证明：连结CM. ∵OA 为⊙M直径, ∴∠OCA=90°. ∴∠OCB=90°. ∵D为OB中点, ∴DC=DO.
………………………
∴∠DCO=∠DOC.(1分） ∵MO=MC,
………………………
∴∠MCO=∠MOC.(2分）
………………………
∴∠DCM=∠DCO+∠MCO=∠DOC+∠MOC=∠DOM=90°.(3分） 又∵点C在⊙M上，
………………………
∴DC是⊙M的切线.(4分） （2）解：在Rt△ACO中,有OC=OA?AC. 又∵A点坐标（5，0）, AC=3, ∴OC=52?32=4. ∴tan∠OAC=
22OCOB?. ACOA学习是一件快乐的事情，大家下载后可以自行修改 4
4OB20.解得 OB=. ?35310又∵D为OB中点，∴OD=.
310………………………
D点坐标为（0，).(5分）
3∴
连接AD，设直线AD的解析式为y=kx+b,则有
?10b?,?10?b?,??3j解得? 3??k??2.??5k?b?0.?3?210x+. 335∵二次函数的图象过M（,0)、A(5,0)，
215………………………
∴抛物线对称轴x=.(6分）
41515∵点M、A关于直线x=对称，设直线AD与直线x=交于点P,
44∴直线AD为y=-∴PD+PM为最小.
又∵DM为定长，
∴满足条件的点P为直线AD与直线x=当x=
15………………………
的交点.(7分） 415215105时,y=-?+=. 43436155………………………
故P点的坐标为（，）.(8分）
46（3）解：存在.
∵S△PDM=S△DAM-S△PAM
11AM·yD-AM·yP 221=AM(yD-yp). 2110155S△QAM=AM·yQ,由（2）知D（0，),P(，）,
234611055………………………∴×（-）=yQ 解得yQ=±(9分） 636125∵二次函数的图像过M(0，)、A(5，0），
25∴设二次函数解析式为y=a(x-)（x-5).
210又∵该图象过点D（0，)，
3=
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