发布时间 : 星期日 文章人教A版高中文科数学总复习练习第九章解析几何课时规范练更新完毕开始阅读89fdf43a16791711cc7931b765ce05087732754a
课时规范练40 直线的倾斜角、斜率与直线的方程
基础巩固组
1.(2018甘肃武威二模,1)把直线x-y+√3-1=0绕点(1,√3)逆时针旋转15°后,所得直线l的方程是( ) A.y=-√3x B.y=√3x C.x-√3y+2=0 D.x+√3y-2=0 2.直线l的方程为Ax+By+C=0,若直线l过原点和第二、四象限,则( ) A.C=0,B>0 B.A>0,B>0,C=0 C.AB<0,C=0 D.AB>0,C=0
3.设直线ax+by+c=0的倾斜角为α,且sin α+cos α=0,则a,b满足( ) A.a+b=1 B.a-b=1 C.a+b=0 D.a-b=0
4.(2018宁夏育才中学四模,6)过点A(1,2),且与原点距离最大的直线方程是( ) A.2x+y-4=0 B.x-2y+3=0 C.x+3y-7=0 D.x+2y-5=0
5.经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的,且截距之和最小,则直线的方程为( ) A.x+2y-6=0 B.2x+y-6=0 C.x-2y+7=0 D.x-2y-7=0
6.已知点(3,1)和点(-4,6)在直线3x-2y+m=0的两侧,则( ) A.m<-7或m>24 B.-7 7.在等腰三角形MON中,|MO|=|MN|,点O(0,0),M(-1,3),点N在x轴的负半轴上,则直线MN的方程为( ) A.3x-y-6=0 B.3x+y+6=0 C.3x-y+6=0 D.3x+y-6=0 8.一条直线经过点A(2,-√3),并且它的倾斜角等于直线y=x的倾斜角的2倍,则这条直线的一般式方程是 . 9.(2018陕西黄陵中学期中,14)不论m为何值,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5恒过定点 . 10.直线l过点(-2,2)且与x轴、y轴分别交于点(a,0),(0,b),若|a|=|b|,则直线l的方程为 . 11.若ab>0,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则ab的最小值为 . 12.根据所给条件求直线的方程: (1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为 √101√310; (2)直线过点P(4,1),且在两坐标轴上的截距相等; (3)直线过点(5,10),到原点的距离为5. 综合提升组 13.(2018重庆一中期中,6)已知直线方程为cos 300°x+sin 300°y=3,则直线的倾斜角为( ) A.60° B.60°或300° C.30° D.30°或330° 14.(2018河南适应性考试,4)已知函数f(x)=ex在点(0,f(0))处的切线为l,动点(a,b)在直线l上,则2a+2-b的最小值是( ) A.4 B.2 C.2√2 D.√2 15.设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是 . 16.已知直线l过点M(1,1),且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A,B两点,O为坐标原点.当|MA|2+|MB|2取得最小值时,则直线l的方程为 . 创新应用组 17.(2018陕西西安八校一联,11)曲线y=x3上一点B处的切线l交x轴于点A,△OAB(O为原点)是以A为顶点的等腰三角形,则切线l的倾斜角为( ) A.30° B.45° C.60° D.120° 18.(2018天津耀华中学2017~2018学年高二上学期中,14)过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A,B两点,则使|PA|·|PB|的值最小时直线l的方程为 . 课时规范练40 直线的倾斜角、斜率与直线的方程 1.B 已知直线的斜率为1,则其倾斜角为45°,绕点逆时针旋转15°后,得到的直线l的倾斜角α=45°+15°=60°,直线l的斜率为tan α=tan 60°=√3,∴直线l的方程为y-√3=√3(x-1),即y=√3x. 2.D 由题意,化直线l的方程为斜截式方程y=-x+-且-??=0,所以AB>0,C=0,故选D. 3.D 由sin α+cos α=0,得 1 ?? sin?? =-1,即cos?? ???? ???? ???? ,因为直线过原点和第二、四象限,所以-<0, ???? ???? tan α=-1.又因为tan α=-,所以-=-1.即a-b=0,故应选D. 1 4.D 过点A(1,2),且与原点距离最大的直线即为过点A且与OA垂直的直线.kOA=2,利用垂直的条件,可以求直线的斜率为-2,所以直线方程为y-2=-2(x-1),整理得x+2y-5=0.故选D. 5.B 解法一:直线过点P(1,4),代入选项,排除A,D,又在两坐标轴上的截距均为正,排除C. 解法二:设所求直线方程为+=1(a>0,b>0),将(1,4)代入得+=1, a+b=(a+b) 14+???? ?? ?? ???? 1?? 4?? ??4??+???? =5+ ≥9, ?? ?? 当且仅当b=2a,即a=3,b=6时等号成立,此时截距之和最小,所以直线方程为+=1,即2x+y-6=0. 366.B 因为点(3,1)和点(-4,6)在直线3x-2y+m=0的两侧,所以(3×3-2×1+m)[3×(-4)-2×6+??]<0,即(m+7)(m-24)<0,解得-7 7.C 因为|MO|=|MN|,所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数,所以kMN=-kMO=3,所以直线MN的方程为y-3=3(x+1),即3x-y+6=0.故选C. 8.√3x-y-3√3=0 因为直线y=x的倾斜角为, 1√3π 所以所求直线的倾斜角为3, π 即斜率k=tan 3=√3. π6 又该直线过点A(2,-√3),故所求直线为y-(-√3)=√3(x-2), 即√3x-y-3√3=0. 9.(9,-4) ∵直线方程为(m-1)x+(2m-1)y=m-5, ∴直线方程可化为(x+2y-1)m+(-x-y+5)=0. ∵不论m为何值,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5恒过定点, ??+2??-1=0,??=9, ∴{ ??=-4.-??-??+5=0, 10.x+y=0或x-y+4=0 若a=b=0,则直线l过(0,0)与(-2,2)两点,直线l的斜率k=-1,直线l的方程为y=-x,即x+y=0. ∴{ 若a≠0,b≠0,则直线l的方程为+=1, -22+ 由题意知{???? ??????????=-4,=1, 解得{ ??=4,|??|=|??|, 此时,直线l的方程为x-y+4=0.故直线l的方程为x+y=0或x-y+4=0. 11.16 根据A(a,0),B(0,b)确定直线的方程为??+??=1,又C(-2,-2)在该直线上,故??+??=1,所以-2(a+b)=ab.又ab>0,故a<0,b<0.根据基本不等式ab=-2(a+b)≥4√????,从而√????≤0(舍去)或√????≥4,故ab≥16,当且仅当a=b=-4时等号成立.即ab的最小值为16. 12.解 (1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式. 设倾斜角为α,则sin α=10(0<α<π), 从而cos α=±10,则k=tan α=±. 3故所求直线方程为y=±(x+4), 31 3√101 √10????-2-2 即x+3y+4=0或x-3y+4=0. (2)设直线l在x,y轴上的截距均为a. 若a=0,即l过(0,0)及(4,1)两点, 1 ∴l的方程为y=4x,即x-4y=0. 若a≠0,则设l的方程为+=1, ∵l过点(4,1),∴??+??=1,∴a=5, ∴l的方程为x+y-5=0. 综上可知,直线l的方程为x-4y=0或x+y-5=0. (3)当斜率不存在时,所求直线方程为x-5=0; 当斜率存在时,设其为k, 则所求直线方程为y-10=k(x-5), 即kx-y+(10-5k)=0. 由点到直线的距离公式,得|10-5??|√??2+1 41 ???????? =5,解得k=4. 3 故所求直线方程为3x-4y+25=0. 综上可知,所求直线方程为x-5=0或3x-4y+25=0. 13.C 由直线方程为cos 300°x+sin 300°y=3, 知k=-cos 300°cos(360°-60°)cos(-60°) =-=-sin 300°sin(360°-60°)sin(-60°) = cos 60°sin 60° = √33 . 因为直线倾斜角的范围为[0°,180°),所以其倾斜角为30°,故选C. 14.D 由题得f'(x)=ex,f(0)=e0=1,k=f'(0)=e0=1.∴切线方程为y-1=x-0,即x-y+1=0,∴a-b+1=0,∴a-b=-1,∴2a+2-b≥2√2??·2-??=2√2??-??=2√2-1=√2(当且仅当a=-,b=时取等号),故选D. 15.5 易知A(0,0),B(1,3),且PA⊥PB, 1 2 12 ∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10, |????|2+|????|2 ∴|PA|·|PB|≤=5 2 (当且仅当|PA|=|PB|时等号成立). 16.x+y-2=0 设直线l的斜率为k,由题意k<0,直线l的方程为y-1=k(x-1),则A1-??,0,B(0,1-k), 所以|MA|2+|MB|2=1-1+?? 1 122211 +1+1+(1-1+k)2=2+k2+2≥2+2√??2·2=4, ???? 1 当且仅当k2=2,即k=-1时等号成立,此时直线l的方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0. 17.C 对 y=x3求导得 ?? 32 y'=3x2,设切点B(x0,??0),则B点处的切线l的斜率为3??0. 32 ∴切线l的方程为y-??0=3??0(x-x0). 令y=0,得A ∵△OAB是以A为顶点的等腰三角形, ∴|OA|=|AB|,即 4∴??0= 2 x0,03 . 2 ∴切线l的倾斜角为60°. 故选C. 18.x+y-3=0 如图所示,设∠BAO=θ,0°<θ<90°, 1 .∴切线3 2 x03 ??2=√(0)+(??03). 3 2 l的斜率为3??0=√3. 12,|PB|=, sin??cos?? 2 ∴|PA|·|PB|= sin??·cos?? |PA|= =, sin2?? 当2θ=90°,即θ=45°时,|PA|·|PB|取最小值, 此时直线的倾斜角为135°,斜率为-1, 4 ∴直线的方程为y-1=-1(x-2), 即x+y-3=0.