发布时间 : 星期三 文章数学建模实验一 - matlab基础更新完毕开始阅读8abb8cdb360cba1aa811dadc
第1章 矩阵及其基本运算
1.2.6 矩阵函数
命令 方阵指数 函数 expm
格式 Y = expm(A) %使用Pade近似算法计算eA，这是一个内部函数，A为方阵。 Y=expm1(A) %使用一个M文件和内部函数相同的算法计算eA Y=expm2(A) %使用泰勒级数计算eA
Y=expm3(A) %使用特征值和特征向量计算eA 命令 矩阵的对数 函数 logm
格式 Y = logm(X) %计算矩阵X的对数，它是expm(X)的反函数。 [Y,esterr] = logm(X) %esterr为相对残差的估计值：norm(expm(Y)-X)/norm(X) 例1-41
>> A=[1 1 0;0 0 2;0 0 -1]; >> Y=expm(A)
Y =
2.7183 1.7183 1.0862 0 1.0000 1.2642 0 0 0.3679 >> A=logm(Y)
A =
1.0000 1.0000 0.0000 0 0 2.0000 0 0 -1.0000
命令 方阵的函数 函数 funm
格式 F = funm(A,fun) %A为方阵，计算由fun指定的A的矩阵函数，fun可以是任意基本函数，如sin、cos等等，例如：funm(A, ’exp’)=expm(A)。
[F,esterr] = funm(A,fun) %esterr为结果所产生的相对误差的估计值。 命令 矩阵的方根 函数 sqrtm
格式 X = sqrtm(A) %矩阵A的平方根A1/2，相当于X*X=A，求X。若A的特征值有非负实部，则X是唯一的；若A的特征值有负的实部，则X为复矩阵；若A为奇异矩阵，则X不存在。
[X,resnorm] = sqrtm(A) % resnorm为结果产生的相对误差
[X,alpha,condest] = sqrtm(A) % alpha为稳定因子，condest为结果的条件数的估计值。 命令 矩阵A的多项式 函数 polyvalm
格式 polyvalm(P, A) %P为多项式系数向量，方阵A为多项式变量，返回多项式值。
1.2.7 矩阵转置
运算符：′
13 MATLAB6.0数学手册 运算规则：若矩阵A的元素为实数，则与线性代数中矩阵的转置相同。 若A为复数矩阵，则A转置后的元素由A对应元素的共轭复数构成。 若仅希望转置，则用如下命令：A.′。
1.2.8 方阵的行列式
函数 det
格式 d = det(X) %返回方阵X的多项式的值 例1-42
>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]
A =
1 2 3 4 5 6 7 8 9 >> D=det(A)
D = 0
1.2.9 逆与伪逆
命令 逆 函数 inv
格式 Y=inv(X) %求方阵X的逆矩阵。若X为奇异阵或近似奇异阵，将给出警告信息。
?123???例1-43 求A??221?的逆矩阵
?343???方法一
>>A=[1 2 3; 2 2 1; 3 4 3]; >>Y=inv(A)或Y=A^(-1) 则结果显示为 Y =
1.0000 3.0000 -2.0000 -1.5000 -3.0000 2.5000 1.0000 1.0000 -1.0000
?123100???方法二：由增广矩阵B??221010?进行初等行变换
?343001???>>B=[1, 2, 3, 1, 0, 0; 2, 2, 1, 0, 1, 0; 3, 4, 3, 0, 0, 1]；
>>C=rref(B) %化行最简形
>>X=C(:, 4:6) %取矩阵C中的A^(-1)部分 显示结果如下： C =
1.0000 0 0 1.0000 3.0000 -2.0000 0 1.0000 0 -1.5000 -3.0000 2.5000 0 0 1.0000 1.0000 1.0000 -1.0000 X =
1.0000 3.0000 -2.0000 -1.5000 -3.0000 2.5000
14 第1章 矩阵及其基本运算
1.0000 1.0000 -1.0000
例1-44
>> A=[2 1 -1;2 1 2;1 -1 1]；
>> format rat %用有理格式输出 >> D=inv(A)
D =
1/3 0 1/3 0 1/3 -2/3 -1/3 1/3 0
命令 伪逆 函数 pinv
格式 B = pinv(A) %求矩阵A的伪逆
B = pinv(A, tol) %tol为误差：max(size(A))*norm(A)*eps
说明 当矩阵为长方阵时，方程AX=I和XA=I至少有一个无解，这时A的伪逆能在某种程度上代表矩阵的逆，若A为非奇异矩阵，则pinv(A) = inv(A)。
例1-45
>> A=magic(5); %产生5阶魔方阵。
>> A=A(:,1:4) %取5阶魔方阵的前4列元素构成矩阵A。
A =
17 24 1 8 23 5 7 14 4 6 13 20 10 12 19 21 11 18 25 2 >> X=pinv(A) %计算A的伪逆
X =
-0.0041 0.0527 -0.0222 -0.0132 0.0069 0.0437 -0.0363 0.0040 0.0033 0.0038 -0.0305 0.0027 -0.0004 0.0068 0.0355 0.0060 -0.0041 0.0314 0.0211 -0.0315
1.2.10 矩阵的迹
函数 trace
格式 b=trace (A) %返回矩阵A的迹，即A的对角线元素之和。
1.2.11 矩阵和向量的范数
命令 向量的范数 函数 norm
格式 n = norm(X) %X为向量，求欧几里德范数，即||X||2?n = norm(X,inf) %求?-范数，即||X||?max(abs(X))。 n = norm(X,1) %求1-范数，即||X||1??|xk|。
k?|xk|2。
n = norm(X,-inf) %求向量X的元素的绝对值的最小值，即||X||?min(abs(X))。 n = norm(X, p) %求p-范数，即||X||p?p
?|xk|p，所以norm(X,2) = norm(X)。
k15 MATLAB6.0数学手册 1.2.13 矩阵的秩
函数 rank
格式 k = rank (A) %求矩阵A的秩 k = rank (A,tol) %tol为给定误差
1.2.14 特殊运算
1．矩阵对角线元素的抽取 函数 diag
格式 X = diag(v,k) %以向量v的元素作为矩阵X的第k条对角线元素，当k=0时，v为X的主对角线；当k>0时，v为上方第k条对角线；当k<0时，v为下方第k条对角线。
X = diag(v) %以v为主对角线元素，其余元素为0构成X。
v = diag(X,k) %抽取X的第k条对角线元素构成向量v。k=0：抽取主对角线元素；k>0：抽取上方第k条对角线元素；k<0抽取下方第k条对角线元素。
v = diag(X) %抽取主对角线元素构成向量v。 例1-46
>> v=[1 2 3]; >> x=diag(v,-1)
x =
0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 >> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]
A =
1 2 3 4 5 6 7 8 9 >> v=diag(A,1)
v = 2 6
2．上三角阵和下三角阵的抽取 函数 tril %取下三角部分
格式 L = tril(X) %抽取X的主对角线的下三角部分构成矩阵L
L = tril(X,k) %抽取X的第k条对角线的下三角部分；k=0为主对角线；k>0为主对角线以上；k<0为主对角线以下。
函数 triu %取上三角部分
格式 U = triu(X) %抽取X的主对角线的上三角部分构成矩阵U
U = triu(X,k) %抽取X的第k条对角线的上三角部分；k=0为主对角线；k>0为主对角线以上；k<0为主对角线以下。
例1-47
>> A=ones(4) %产生4阶全1阵
A =
1 1 1 1
16