发布时间 : 星期一 文章江苏省苏州市2001-2019年中考数学试题分类解析专题12：押轴题更新完毕开始阅读8ac1f68f15791711cc7931b765ce05087732753d
数学试卷
3. （江苏省苏州市2002年7分）已知：⊙O1与⊙O2外切于点P，过点P的直线分别交⊙O1、⊙O2于点B、A，⊙O1的切线BN交⊙O2于点M、N，AC为⊙O2的弦， （1）如图（1），设弦AC交BN于点D，求证：AP?AB?AC?AD；
（2）如图（2），当弦AC绕点A旋转，弦AC的延长线交直线BBN于点D时，试问：
AP?AB?AC?AD是否仍然成立？证明你的结论。
【答案】解：（1）证明：连结PC，过点P作⊙O1与⊙O2的公切线EF。 ∴?APF??C。
又∵BN是⊙O1的切线，∴?MBP??EPB。 又∵?EPB??APF，∴?MBP??C。
又∵?A??A，∴?APC∽?ADB。
∴
APAC，即AP?AB?AC?AD。 ?ADAB （2）仍成立。证明如下：
连结PC，过点P作⊙O1和⊙O2的公切线EF。
∵BN是⊙O1的切线，∴MB?MP。∴?MBP??EPB。 ∴?ABD??APE。
又∵?ACP??APE，∴?ABD??ACP。 又∵?A??A，∴?APC∽?ADB。 ∴
APAC，即AP?AB?AC?AD。 ?ADAB【考点】相切两圆切线的性质，弦切角定理，切线长定理，等腰三角形的性质，对顶角的性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）连结PC，过点P作⊙O1与⊙O2的公切线EF。根据弦切角定理可得
?APF??C，由BN也是⊙O1的切线，根据切线长定理可得MB?MP，从而根据等腰三
角形等边对等角的性质，得到?MBP??EPB，由对顶角相等的性质，得到?MBP??C。
数学试卷
又?A??A，从而?APC∽?ADB，根据相似三角形的性质即可证明。
（2）同（1）可以证明。
4.（江苏省苏州市2002年7分）如图，梯形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、B、C的坐标分别为（14，0）、（14，3）、（4，3）。点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动。其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位；点Q沿OC、CB向终点B运动。当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。
（1）设从出发起运动了x秒，如果点Q的速度为每秒2个单位，试分别写出这时点Q在OC上或在CB上时的坐标（用含x的代数式表示，不要求写出x的取值范围）； （2）设从出发起运动了x秒，如果点P与点Q所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半。
①试用含x的代数式表示这时点Q所经过的路程和它的速度；
②试问：这时直线PQ是否可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分？如有可能，求出相应的x的值和P、Q的坐标；如不可能，请说明理由。
【答案】解：（1）当点Q在OC上时，如图，过点C作CE⊥OA于点E，过点Q作QF⊥OA于点F。
依题意，有OE=4，EC=3，OC=5，OQ=2x。 由△OCE∽△OQF得 即
OQOFFQ， ??OCOEEC2xOFFQ。 ??5438686∴OF=x， FQ=x。∴当点Q在OC上时，点Q的坐标为(x，x)。
5555当点Q在CB上时，如图，过点C作CM⊥OA于点M，
过点Q作QN⊥OA于点N。
∵CQ=2x－5，∴OM=4＋2x－5=2x－1。
又MQ=3，∴当点Q在CB上时，点Q的坐标为（2x?13，）。
（2）①∵点P所经过的路程为x，点Q所经过的路程为OQ，且点P与点Q所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半，
数学试卷
∴x＋OQ=
1（14＋3＋10＋5），即OQ=16－x。 216?x ∴点Q所经过的路程为16－x， 速度为。
x ②不能。理由如下：
当Q点在OC上时，如图，过点Q作QF⊥OA于点F。 则OP=x，QF= (16?x)?。
35133?(16?x)?x?x(16?x)。 251013又∵S?OABC???10?14??3?36，∴令x(16?x)?18，解之，得
210∴S?OPQ?x1?10，x2?6。
∵当x1?10时，16?x?6，这时点Q不在OC上，故舍去；
当x2?6时，16?x?10，这时点Q不在OC上，故舍去。
∴当Q点在OC上时，PQ不可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两
部分。
当Q在CB上时，CQ=16－x－5=11－x， ∴S梯形OPQC?∵
133?(11?x?x)?3?。 2233?18， 2 ∴当Q点在CB上时，PQ不可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分。
综上所述，这时PQ不可能同时平分梯形OABC的面积。
【考点】动点问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）当点Q在OC上时，作直角三角形OCE和OQF，由二者相似即可求出此时点Q的坐标。当点Q在CB上时，过点C作CM⊥OA于点M，过点Q作QN⊥OA于点N，即可得出OM=4＋2x－5=2x－1，从而求出此时点Q的坐标。
（2）①由点P与点Q所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半，列出等式，
x＋OQ=
1（14＋3＋10＋5），即可求出点Q所经过的路程。用路程÷时间即可求得速度。 2 ②分Q点在OC上和Q点在OC上，分别讨论即可得出结论。
数学试卷
5. （江苏省苏州市2003年7分）如图1，⊙O的直径为AB，过半径OA的中点G作弦CE⊥AB，在CB上取一点D，分别作直线CD、ED，交直线AB于点F、M。 （1）求∠COA和∠FDM的度数； （2）求证：△FDM∽△COM；
（3）如图2，若将垂足G改取为半径OB上任意一点，点D改取在EB上，仍作直线CD、ED，
分别交直
线AB于点F、M。试判断：此时是否仍有△FDM∽△COM？证明你的结论。
【答案】解：（1）∵AB为直径，CE⊥AB，∴AC?AE，CG=EG。
在Rt△COG中，∵OG=
1OC，∴∠OCG=30°。∴∠COA=60°。 2又∵∠CDE的度数=CAE的度数= AC的度数=∠COA的度数=60°， ∴∠FDM=180°－∠CDE=120°。
（2）证明：∵∠COM=180°－∠COA=120°，∴∠COM=∠FDM。
12?GM?GM在Rt△CGM和Rt△EGM中，?，∴Rt△CGM≌Rt△EGM（HL）。
CG?EG?∴∠GMC=∠GME。
又∵∠DMF=∠GME，∴∠GMC=∠DMF。∴△FDM∽△COM。 （3）结论仍成立。证明如下：
∵∠EDC的度数=CAE的度数=AC的度数=∠COA的度数， ∴∠FDM=180°－∠COA=∠COM。 ∵AB为直径，∴CE⊥AB。
12?GM?GM在Rt△CGM和Rt△EGM中，?∴Rt△CGM≌Rt△EGM（HL）。
CG?EG?∴∠GMC=∠GME。∴△FDM∽△COM。
【考点】圆周角定理，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，线段垂直平分线的性质，直角