发布时间 : 星期一 文章奥数第4讲-巧求周长与面积更新完毕开始阅读8b7fc97a03f69e3143323968011ca300a6c3f6d2
巧求周长与面积
掌握巧求周长与面积的基本方法；
1. 理解并掌握割补、平移等数学思想方法。
【例1】 （2007年“希望杯”第一试）右图中的阴影部GHEF分BCGF是正方形，线段FH长18厘米，线段AC长24厘米，则长方形ADHE的周长是__________厘米。
【分析】 由于图中阴影部分BCGF是个正方形，其四条
边的边长都相等，且等于长方形ADHE的宽。ACDBFH?AC的和应为长方形ADHE的长加上正方形BCGF的边长，所以等于长方形ADHE的长与宽之和。所以长方形ADHE的周长为：(18?24)?2?84厘米。
DC【例2】 如右图所示，在一个正方形内画中、小两个正方形，使三
丙个正方形具有公共顶点，这样大正方形被分割成了正方形
EJ区域甲，和L形区域乙和丙。甲的边长为4厘米，乙的边乙F长是甲的边长的1.5倍，丙的边长是乙的边长的1.5倍，那I么丙的周长为多少厘米？EF长多少厘米？ 甲【分析】 乙的周长实际上是正方形AHJE的周长（我们可将乙与甲
AGHB重合的两条线段分别向左、向下平移），同样的，丙的周
长也就是正方形ABCD的周长。由于AE?4?1.5?6，AD?6?1.5?9，所以丙的周长为9?4?36厘米，
。 EF?AE?AF?6?4?2（厘米）
【例3】 用若干个边长都是2厘米的平行四边形与三角形（如右图）拼接成一个大的平行四边
形，已知大平行四边形的周长是244厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？
【分析】 大平行四边形上、下两边的长为
(244?2?2)?2?120厘米，观察上边，每6厘米有两个平行四边形的边，所以共有小平行四边形120?6?2?40个，三角形的数量与小平行四边形的数量相等，也是40个。
[拓展] 用若干个边长都是2厘米的平行四边形与三角形（如右图）拼接成一个大的平行四边形，
已知大平行四边形的周长是236厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？
[分析] 大平行四边形上、下两边的长为
观察上边，每6厘米有两(236?2?2)?2?116厘米，个平行四边形的边，116?6?19L2，所以有三角形
19?2?38个，小平行四边形38?1?39个。
【例4】 有9个小长方形，它们的长和宽分别相等，用这9个
小长方形拼成的大长方形(如图)的面积是45平方厘米，求这个大长方形的周长。
【分析】 从图上可以知道，小长方形的长的4倍等于宽的5倍，所以长是宽的5?4?1.25倍。
每个小长方形的面积为45?9?5平方厘米，所以1.25?宽?宽?5，所以宽为2厘米，长为2.5厘米。大长方形的周长为(2.5?4?2?2.5)?2?29厘米。
[拓展] 右图的长方形被分割成5个正方形，已知原长方形的面积为
120平方厘米，求原长方形的长与宽。
[分析] 大正方形边长的2倍等于小正方形边长的3倍，所以大正方
30 / 8
711形的边长是小正方形边长的1.5倍，大正方形的面积是小正方形面积的1.5?1.5?2.25倍，所以小正方形面积为120?(2.25?2?3)?16平方厘米，所以小正方形的边长为4厘
米，大正方形的边长为6厘米，原长方形的长为4?3?12厘米，宽为4?6?10厘米。
【例5】 （希望杯培训题）如右图所示，在一个正方形上先截去宽11分米的长方形,再截去宽7分米的长方形，所得图形的面积比原正方形减少301平方分米。原正方形的边长是______分米。
【分析】 把截去的两个长方形拼在一起，如右下图所示，再补上长11分米、宽7分米的小长方
形，所得长方形的面积是301?11?7?378平方分米，这个长方形的长等于原正方形的边长，宽为
G11?7?18分米，所以原正方形边长为：
36378?18?21分米。
C AD2016B【例6】 如图，一个矩形被分成八个小矩形，其中有五个
30E矩形的面积如图中所示（单位：平方厘米），问
12大矩形的面积是多少平方厘米？
F【分析】 通过分析题目中的已知条件可以看出，面积为16平
方厘米和面积为20平方厘米的两个长方形的宽相等，即BC相等，不妨假设BC?2厘米，可以算得：AC?8厘米，CD?10厘米。于是可以算得：GC?36?8?4.5厘米，BE?30?10?3厘米，EF?12?8?1.5厘米。于是大长方形的长为10?8?18厘米，宽为4.5?2?3?1.5?11厘米，因此大长方形的面积为18?11?198平方厘米。
【例7】 一块正方形的苗圃（如右图实线所示），若将它的边
长各增加30米（如图虚线所示），则面积增加9900平方米，问原来这块正方形苗圃的面积是多少平方米？
【分析】 小正方形的面积为：30?30?900平方米。用增加的面积减去小正方形的面积就得到
增加的两个长方形的面积和，为：9900?900?9000平方米。而增加的两个长方形的面积相等，于是其中一个长方形的面积为9000?2?4500平方米。长方形的宽为30米，那么长为：4500?30?150米，这就是原来这块正方形苗圃的边长，原来这块正方形苗圃的面积为150?150?22500（平方米）。
【例8】 长方形ABCD的周长是30厘米，以这个长方形的每一条边为边长向外画正方形。已知
这四个正方形的面积之和为290平方厘米，那么长方形ABCD的面积是多少平方厘米？ 【分析】 从图形我们可以看出，A1B的长度恰好为长方形的长与宽之
和，即为长方形ABCD周长的一半，可以看出若以A1B和BC1为边能构成大正方形A1BC1E1（如右图b所示），其中包含两个长方形和两个正方形，而且两个长方形的面积是相等的，两个正方形的面积刚好是290平方厘米的一半。这样我们容易求出：大正方形A1BC1E1的边长为30?2?15厘米，面积为：
C1DA1ACBE1D1EDC1CB31 / 8
A1A正方形CDD1C1与正方形ADEA1的面积之和为：（平15?15?225平方厘米，290?2?145方厘米）。长方形ABCD与长方形EDD1E1的面积相等。所以，长方形ABCD的面积为：。 (225?145)?2?40（平方厘米）
[巩固] 用两块长方形纸片和一块正方形纸片拼成一个大正方形，长方形纸片面积分别为44平方
厘米与28平方厘米，原正方形纸片面积是多少平方厘米？
[分析] 做辅助线，如右下图，小正方形Ⅰ的面积为44?28?16，所以
。 a?4,b?28?4?7，原正方形面积为7?7?49（平方厘米）
【例9】 如图，正方形ABCD的边长是5，E，F分别是AB和BCAD的中点，求四边形BFGE的面积。
【分析】 如下图，利用割补法，原正方形面积等于5个小正方形
面积之和，所以每个小正方形面积是5?5?5?5，而阴
E影部分面积等于1个小正方形面积，所以也是5。
G
DA
E综合应用 GBFC中大CF中B中【例10】 把正三角形的每条边三等分，以各边的中间一段为边向外图a作小正三角形，得到一个六角形。再将这个六角形的六个“角”（即小正三角形）的两边三等分，又以它的中间段为边向外作更小的小正三角形，这样就得到如右图所示的图形。如果所作的最小的小正三角形的面积为1平方厘米，求如图中整个图形的面积。
【分析】 题目中出现了大、中、小三种规格的正三角形(如图a)，由已知，图中最小的小正三
角形的面积是1平方厘米，于是我们就以1平方厘米的小正三角形为单位，对图a进行分割，得到图b。从图b可以看出，一个大正三角形中包含9个中正三角形，一个中正三角形中包含9个小正三角形。由此可以求出，一个大正三角形中包含9?9?81个小正三角形，在图a中，除了一个大三角形之外，还有3个中正三角形和12个小正三角形，所以整个图形中共含有小三角形的个数为：9?9?3?9?12?120个，而每个小正三角形的面积为1平方厘米，所以图a中图形的面积为120平方厘米。
图b
【例11】 （“迎春杯”初赛）如右图，甲、乙、丙、丁四个长方形拼
成一个正方形EFGH，中间阴影为正方形。已知甲、乙、丙、丁四个长方形面积的和是32平方厘米，四边形ABCD的面积是20平方厘米，求甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和。
EBA丁甲HF乙C丙DG32 / 8
【分析】 甲、乙、丙、丁四个长方形的长与宽之和的总和等于大正方形的周长，所以甲、乙、
丙、丁四个长方形的周长的总和等于大正方形的周长的2倍。大正方形的面积等于四边形ABCD的面积加上甲、乙、丙、丁面积和的一半，即20?32?2?36平方厘米，所以大正方形边长为6厘米，所以甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和为6?4?2?48厘米。
【例12】 （2006年“希望杯”第二试）如右图，用标号为
1，2，3，4，5的五种大小不同的正方形拼成一21个大长方形，大长方形的长和宽分别是18，14，则标号为5的正方形的面积是多少？
5【分析】 如果标号为5的正方形的边长是a，那么1号比23号大a，2号比3号大a，所以1号比3号大2a，
444又因为2号和3号的边长之和是14，1号和2号的边长之和是18，所以1号比3号大18?14?4，即
2a?4，a?2，标号为5的正方形的面积是2?2?4。
[巩固] （希望杯培训题）小军用编号为1，2，3，4，5的大小不同的正方形拼出一个长方形，
如右图所示，则中间阴影部分正方形的周长是多少厘米？
32[分析] 因为正方形1的边长?正方形2的边长?正
1方形3的边长?30厘米， 正方形1的边长?422厘米5正方形2的边长?22厘米，所以 正方形3的
4边长?30?22?8(厘米)，正方形5的边长123?2?正方形3的边长?22厘米，所以正方形
5的边长?22?8?2?厘6米，周长为
30厘米 6?4?2厘米。4[拓展] 一个大长方形若能分割成若干个大小不同的
小正方形，则称为完美长方形。下面一个长方形是由9个小正方形组成的完美长方形。图中正方形A和B的边长分别是7厘米和4厘米，那么这个完美长方形的面积是多少平方厘米？
[分析] 为了叙述方便，我们将图中各个小正方形分别用字母表示(如图)。 DEF设最小的正方形边长为x厘米，又因为小正方形A的边长为7厘米，小正方形B的边长
CABAB7?x（厘米）为4厘米，所以小正方形，小正方形D的边长可以表C的边长可以表示为示为7?x?x?7?2x（厘米），小正方形E的边长可以表示为，7?x?4?11?x（厘米）GH小正方形F的边长可以表示为11?x?4?15?x（厘米），小正方形G的边长可以表示为
，小正方形H的边长可以表示为7?x?7?14?x（厘米），观15?x?4?19?x（厘米）察大长方形可知：小正方形D、C、H的边长之和等于小正方形F、G的边长之和，可以列方程为：(7?2x)?(7?x)?(14?x)?(15?x)?(19?x)，解得x?1。从而可得小正方形C、D、E、F、G、H的边长分别为8厘米、9厘米、10厘米、14厘米、18厘米、15厘米。大长方形的长为：18?15?33（厘米），宽为：14?18?32（厘米），大长方形的面积为：33?32?1056（平方厘米）。
【例13】 有一大一小两块正方形试验田，他们的周长相差40米，面积相差220平方米，那么小
正方形试验田的面积是多少平方米？
【分析】 根据已知条件，我们将两个正方形试
验田的一个顶点对齐，画出示意图
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图a图b