发布时间 : 星期一 文章4-4-1 - 长方体与正方体[1].题库教师版 doc更新完毕开始阅读8b966af1915f804d2a16c128
(如图所示)在三个方向上的加固．所用尼龙编织条分别为365厘米，405厘米，485厘米．若每个尼龙加固时接头重叠都是5厘米．问这个长方体包装箱的体积是多少立方米?
高宽长【解析】 长方体中
高?宽?1(365?5)?180， ⑴
2高?长?1(405?5)?200， ⑵
2长?宽?1(485?5)?240， ⑶
2⑵?⑴：长?宽?20， ⑷ ⑷?⑶：长?130，从而宽?110， 代入⑴得高?70． 所以长方体体积为
70?110?130?1001000(立方厘米)?1.001(立方米)
【例 44】 (第十届“迎春杯”)一个长方体的表面积是33.66平方分米，其中一个面的长是2.3分米，宽是
2.1分米，它的体积是_____立方分米.
30【解析】 长方体的高是(33.66?2.1?2.3?2)?2?(2.1?2.3)?(分米).
113019长方体的体积是2.1?2.3??13(立方分米)．
11110
【例 45】 (第十五届“迎春杯”决赛)把一根长2.4米的长方体木料锯成5段(如图)，表面积比原来增加
了96平方厘米．这根木料原来的体积是_____立方厘米．
2.4米
【解析】 96?8?12(平方厘米)，
12?240?2880(立方厘米)．
所以这根木料原来的体积为2880立方厘米．
【例 46】 (第五届《小数报》数学竞赛决赛)一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半(如图)．将
这个长方体切成12个小长方体，这些小长方体的表面之和为600平方分米．求这个大长方体的体积．
【解析】 设大长方体的宽(高)为a分米，则长为2a，右(左)面积为a2，其余面的面积为2a2，根据题意， 2?2a2?8a2?6?2a2?600 所以a2?25，a?5． 大长方体的体积?2?5?5?5?250(立方分米)．
【例 47】 有三个大小一样的正方体，将接触的面用胶粘接在一起成图示的形状，表面积比原来减少了16
平方厘米.求所成形体的体积.
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【解析】 三个小正方体拼接成图中的样子，减少了小正方体的4个侧面正方形的面积，表面积减少了16平方
厘米，每个正方形侧面为16?4?4平方厘米，每个正方体棱长为2厘米，三个小正方体体积(即所成形体的体积)是3?23?24立方厘米.
【例 48】 (第十一届“迎春杯”)有一个长方体，长是宽的2倍，宽是高的3倍；长的1与高的1之和比
23宽多1厘米．这个长方体的体积是 立方厘米．
【解析】 长的1即宽，所以高的1就是1厘米，高是3厘米，宽是3?3?9厘米，长是9?2?18厘米，体积是
233?9?18?486(立方厘米)．
【巩固】(第六届“迎春杯”决赛)一个长方体的各条棱长的和是48厘米，并且它的长是宽的2倍，高与宽相
等，那么这个长方体的体积是______ 立方厘米．
【解析】 依题意，这个长方体的长、宽、高之和是48?4?12(厘米)，
于是它的宽与高都等于12?(2?1?1)?3(厘米)， 它的长是3?2?6厘米．
所以这个长方体的体积是6?3?3?54(立方厘米)．
【例 49】 把11块相同的长方体的砖拼成如图所示的大长方体，已知每块砖的体积是288cm3，则大长方体
的表面积为多少？
【解析】 如果知道每块砖的长、宽、高即可求出所有的量，但我们只知道它们的乘积，但可以从图中发现隐
含的数量关系．
由图可知每块砖的长、宽、高的比值，两个长等于三个宽，所以长、宽之比为3:2，四个高等于一个长，所以长、高之比为4:1，长、宽、高之比为12:8:3，设砖的长为12单位，那么体积应该为12?8?3?288个立方单位，所以一个单位长度就是1厘米，所以大长方体的长、宽、高分别为：24
（24?12?12?11?11?24）?2?1368平方厘米．厘米，12厘米，11厘米，所以大长方体的表面积为：
【例 50】 有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长分别是6米、3米、2米．把两堆碎石分别沉没在
中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？
【解析】 把碎石沉没在水中，水面升高所增加的体积，就等于所沉入的碎石的体积．
因此，沉入水池中的碎石的体积是 3?3?0.06?0.54(米3)，
而沉入小水池中的碎石的体积是2?2?0.04?0.16(米3)． 这两堆碎石的体积一共是0.54?0.16?0.7(米3)．
把它们都沉入大水池里，大水池的水面升高所增加的体积也就是0.7米3．而大水池的底面积是6?6?36(米3)．所以水面升高了
0.77017(米)?(厘米)?1(厘米)． 0.7?36?3636184-4-1 长方体与正方体 题库 page 18 of 37
17故大水池的水面升高了1厘米．
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【例 51】 一个正方体容器，容器内部边长为24厘米，存有若干水，水深17.2厘米，现将一些碎铁块放入
容器中，铁块沉入水底，水面上升2.5厘米，如果将这些铁块铸成一个和容器等高的实心圆柱，重新放入池中，则水面升高几厘米？
【解析】 设铁块铸成和容器等高的实心圆柱放入池中水面升高x厘米，则有水面升高后水的总体积?原来水
的体积?铁块浸入水中的体积，242?x?242?17.2?S铁块的底面积?x，
其中S铁块的底面积?24?242?2.5，得到S铁块的底面积?24?2.5，解得x?19.2， 所以水面升高了19.2?17.2?2(厘米)．
【例 52】 （2009年迎春杯初赛六年级）如图，有一个棱长为10厘米的正方体铁块，现已在每两个对面
的中央钻一个边长为4厘米的正方形孔（边平行于正方体的棱），且穿透．另有一长方体容器，从内部量，长、宽、高分别为15厘米、12厘米、9厘米，内部有水，水深3厘米．若将正方体铁块平放入长方体容器中，则铁块在水下部分的体积为 立方厘米．
【解析】 可以把正方体铁块看作三层：最下面一层为中央穿孔的长方体，高为3厘米；中间一层为4个长方体
立柱，高为4厘米；最上面一层也是高为3厘米的中央穿孔的长方体.
由于长方体容器内原有水深3厘米，所以正方体铁块放入水中后，铁块最下面一层肯定全部在水中，而水也不可能上升到最上面一层，即恰在中间一层.设水面上升了h厘米，则中间一层在水中的部分恰好为h厘米.
由于水面上升是由于铁块放入水中导致，水面上升的体积即等于铁块在水下部分的体积，即：
715?12?h?(102?42)?3?32?4?h，解得h?，
47故铁块在水下部分的体积为15?12??315(立方厘米).
4
【例 53】 (第九届“迎春杯”决赛)把1个棱长是3厘米的正方体分割成若干个小的正方体，这些小正方
体的棱长必须是整厘米数．如果这些小正方体的体积不要求都相等，那么最少可分割成 个小正方体．
【解析】 因为小正方体的棱长只可能是2厘米或1厘米．必须分割出棱长是2厘米的小正方体才能使数量减
少．显然，棱长是3厘米的正方体只能切割出一个棱长为2厘米的小正方体，剩余部分再切割出3?3?3?2?2?2?27?8?19个棱长是1厘米的小正方体，这样总共可以分割成1?19?20(个)小正方体．
【巩固】(第九届“祖冲之杯”数学邀请赛)有一个长方体的盒子，从里面量长40厘米，宽12厘米，高7厘
米，在这个盒子里放长5厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体木块．最多可放 块．
343333
【解析】 上图表明3?4的长方形可以填满7?12的长方形．
于是5?3?4的长方体可以填满40?7?12的长方体，即盒子中最多可放这种长方体 40?7?12?(5?3?4)?56(个)．
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444【例 54】 有甲、乙、丙3种大小的正方体木块，棱长比是1:2:3．如果用这三种正方体拼成尽量小的一
个正方体，且每种都至少用一个，则最少需要这三种正方体共多少？
【解析】 设甲的棱长是1，则乙的棱长是2，丙的棱长是3．一个甲种木块的体积是1，一个乙种木块的体积
是2?2?2?8，一个丙种木块的体积是3?3?3?27．
由于每种正方体都要用到，那么所拼成的正方体的棱长最小应为3?2?5． 当这三种木块拼成的正方体的棱长是5时，体积是5?5?5?125．
要想使三种正方体的总数最小，则体积较大的木块应尽可能多．由于棱长为5，所以其中丙种木块只能有1个．
有了1个丙种木块后，乙种木块最多可以有4?2?1?7块．
丙种木块的体积是27，乙种木块的体积是8?7?56，余下的体积为125?27?56?42．所以还需要甲种木块42?1?42块．
所以共需要至少1?7?42?50块．
【例 55】 用1?1?2、1?1?3、1?2?2三种小木块拼成3?3?3的正方体．现有足够多的1?2?2 的小木
块，还有14块1?1?3的小木块，如果要拼成10个3?3?3的正方体，则最少需要1?1?2的小木块________块．
【解析】 1?1?2、1?1?3、1?2?2三种木块的体积分别为2，3，4，其中只有3为奇数，2，4都是偶数．
因为3?3?3?27，体积为奇数，所以每个3?3?3的正方体中，1?1?3的木块要有奇数块．
当只用1块1?1?3时，剩下的体积为24，但无法完全用1?2?2完成，还需要1?1?2的小木块，由于24和4都是4的倍数，所以1?1?2的小木块的体积和也是4的倍数，至少要用2块1?1?2的小木块．检验可知用1块1?1?3的小木块、2块1?1?2的小木块和5块1?2?2的小木块可以拼成3?3?3的正方体．
当用3块1?1?3的小木块时，体积剩下18，可以再用4块1?2?2的小木块和1块1?1?2的小木块拼成．
当用5块1?1?3的小木块时，体积剩下12，此时可以再用3块1?2?2的小木块拼成，即此时不需要用1?1?2的小木块拼成．
为了尽量少用1?1?2的木块，所以要尽量多用其他木块．而一共只有14块1?1?3的木块，所以可以在8个3?3?3的正方体中各用1块1?1?3的木块，另2个3?3?3的正方体各用3块1?1?3的木块；也可以在9个3?3?3的正方体中各用1块1?1?3的木块，另1个3?3?3的正方体用5块1?1?3的木块．前者需要2?8?1?2?18个，后者需要2?9?18个，数量相同，所以最少需要1?1?2的木块18块．
【例 56】 把一个长方体形状的木料分割成3小块，使这3小块的体积相等．已知这长方体的长为15厘米，
宽为12厘米，高为9厘米．分割时要求只能锯两次，如图1就是一种分割线的图．除这种分割的方法外，还可有其他不同的分割方法，请把分割线分别画在图2的各图中．
图1
图2
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