发布时间 : 星期三 文章压杆稳定欧拉公式错误剖析更新完毕开始阅读8be73d69af1ffc4ffe47ace4
假定杆为矩形截面，截面高度为h，按2．2．2的分析结果，压杆在真实状态下有2种情况：
a．若Per的偏心距e?ej?1h，此时全杆各截面的应力全部为压应力如图4、图5所示，6截面上不出现中性轴，由Per引起的弯矩M?0，于是
b．若Per的偏心距e?ej?MM?EIds?0，所以??0；
1h，此时杆上各截面拉应力与压应力并存，由Per引起的弯矩6M?0，于是?MMds?0，所以??0。 EI1h，则撤去Q后杆端弹回原位，杆在直线形状下6推论：在图2所示的理想状态下，若横向干扰力Q将杆端推离原位的距离为?，相当于P力对杆底截面的形心轴有偏心距e??。若??平衡；只有在??1h的情况下，撤去Q后杆端才有可能不完全弹回原位，杆才有可能在曲线形6状下平衡。换言之，撤去Q后是否有??0，其决定因素不仅仅是P值的大小，施加Q力时得到?的大小也是关键因素。
可见，用虚功原理分析的结果除了进一步肯定2．2．2的结论之外，尚可推论至理想状态：理想状态下欧拉的设想不成立，即仅仅由P值大小决定的压杆临界状态不存在。如果理想压杆丧失承载力这一后果是由P值及?值两个要因共同决定的，则欧拉公式失去成立的前提条件。 2．2．4 对实验结果的看法
实验结果表明，压杆临界力是存在的，只是实验结果与用欧拉公式计算得到的结果相差较大。其实这是一个误会，前面的理论分析表明，压杆的临界状态在理论上不成立，并且即使在实验室的条件下也不可能使杆上的压力与杆件的质心轴完全重合，原始偏心e不可能为零。所以，实验结果其实是真实状态下压杆的压弯数据，而不是理想状态下压杆的失稳数据。
实验结果不能证明“压杆临界状态”的存在。 欧拉关于压杆临界状态的假设不成立。 2．3 临界力欧拉公式的错误
在推导的出发点上，欧拉在一条方程中投放了3个未知数：
EI?''?Per(???) (3) 这3个未知数是：I、Per、?。
其中，Per、?相互独立，各不相关，开始设定时就如此（见图3）。而I如2．2．2所述，也是未知量（只有在纯弯曲状态下，才有截面轴向应力的合力N?0，此时中性轴过截面形心，I可确定。但在压弯状态下，截面轴向应力的合力N?0，中性轴不过截面形心，位置未知，I不能确定）。
欧拉在推导临界力公式的过程中，解了一条含3个未知数的无解方程，犯了2个错误： a. 以为I是已知量，所以错用解决纯弯曲问题的式（1）来解决压弯问题；
b. 在推到式（8）之后，避开未知数?求解Per（见1．2．1）。
?2EI于是，在解出的结果Per?中，出现了解不开的未知数连环套： 2(?L) 6
a. Per的表达式中含有I，I不能确定，则Per不能确定；
b. 要确定I，必须已知Per和?。又回到了出发点， Per仍旧是未知数。
这个连环套表明，欧拉从一条含3个未知数的方程中解出其中1个，这个结果是不确定的，
?2EI所以：临界力欧拉公式Per?没有意义。 2(?L)2．4 临界应力欧拉公式的错误
研究纯弯曲问题的基本公式是：
1??M (18) EI由式（18）导出了式（1）和式（19）：
EI?\??M(x) (1)
??My (19) I其中式（1）是导出临界力欧拉公式的方程式，式（19）是弯曲应力公式。可见，式（1）和式（19）两式同源。按这一逻辑关系，在求出临界力Per之后，欧拉应该将其代入式（19）求出临界应力：
?er?MymaxPer???ymax? (20) II式中出现了杆端位移?，这是推导临界力公式时欧拉曾经避开的未知数，它是任意设定的，
无真实的值。所以欧拉只能再一次避开它。抛开式（19），欧拉用轴心受压的应力表达式求解压弯状态下的临界应力：
Per?2EI (12) ?er??A(?L)2APer?2E (13) ?er???L2A()IAPer?2E?er?? (14)
?L2A()rPer?2E?er??2 (15)
A?这是偷换概念，即用轴心受压概念偷换原先设定的弯曲受压概念。
因为偷换概念，临界应力表达式式（12）～（15）包含了3个原则性错误：
a． 临界应力既是弯曲应力（式中含有I，表示截面上的应力是沿截面线性分布的非均布应力），同时又是轴压应力（式中含有A，表示截面上的应力是按截面面积平均分布的均布应力）。同一条杆，同一个截面上的应力既是非均布应力，同时又是均布应力，这样的应力状态是不存在
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的。
b． 欧拉研究的是弯曲问题，在受弯杆件的截面上，必定同时存在拉应力和压应力，但欧拉令全截面的应力为压应力，违反客观规律。
c． 临界应力值正比于截面惯性矩与截面面积的比值（见式（12））：
?er?I AI越大，于是得到反例中易拉罐强于正常壁厚管A薄壁构件，在外框尺寸确定之后，壁越薄则
的结论。实际上薄壁杆件被压弯时，截面上受压区离中性轴最远一点的压应力必定大于平均压应力，当此点的杆壁被压凹时，杆件便破坏了，可见杆件的压弯破坏并不由平均压应力来决定，而是由最大压应力来决定。实际上，壁越薄的杆越容易被压凹，在模板支架破坏现场，随处可见被压凹的管材杆件。所以?er?I违反客观实际。 A临界应力欧拉公式违反客观规律。
2．5 “理想状态”之说抹不去欧拉的错误
学术界普遍认为，欧拉公式是在理想状态下推导出来的，不能在实际状态下来判断其是与非。既然如此，本节就在理想状态下讨论欧拉公式。欧拉以式（1）作为其推导的出发点：
EI?\??M(x) (1)
下面将“理想状态”量化，看欧拉使用式（1）是否合理。在理想状态下： a. 当??1h时，压杆处于偏心受压状态：杆上所有截面均无中性轴存在，截面惯性矩I没6有意义，从而式（1）没有意义。说明压弯问题不能用纯弯曲方程求解。所以，在此种情况下欧拉使用式（1）是错误的。
b. 当??1h时，压杆处于压弯状态：截面上轴向应力合力N?0，从而中性轴不过截面形6心，其位置未知，而且中性轴位置随着截面在杆上位置的改变而改变（I?I(x)），截面惯性矩I为未知量。此时使用式（1）求解Per，式中共出现I、Per、? 3个未知数，式（1）无解。所以，在此种情况下欧拉使用式（1）也是错误的。
以上分析表明，在任何情况下（包括在欧拉的理想状态下），使用式（1）求解压弯问题都是错误的。
在力学领域里，有不少理论是在理想状态之下推演出来的，只要所设想的理想状态合理，所得结论就不失其正确性。例如研究纯弯曲问题时的平面假设就是一种理想状态，平面假设已为实验所证实并且与虎克定律相吻合，所以此种理想状态是合理的。反观欧拉的理想状态就大不相同，欧拉的理想状态与其出发点式（1）相悖，是不合理的。
所以，“理想状态”之说抹不去欧拉的错误。 2．6 结论
欧拉公式的错误可以归结为：
a. 压杆临界状态不存在。依据临界状态假设提出的压杆稳定和失稳概念，以及以此概念为基础建立起来的欧拉公式没有存在的前提条件；
b. 欧拉没有解出临界力，欧拉公式没有意义；
c. 临界应力欧拉公式犯概念性错误，违反客观规律。 欧拉公式错误的根源是：
a. 用解决纯弯曲问题的方程式去解决压弯问题，路径不对，无法达到目的；
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b. 开始时用纯弯曲方程式，最后用轴压方程式，手段不对。导致结果?er既非弯曲，又非轴压，临界应力状态是不存在的应力状态。
欧拉公式的错误影响工程界，是压杆计算理论缺陷的根源。
3 结束语
对于工程中的压杆，应还其压弯的真面目，用压弯的概念来寻求解决问题的途径。例如：对于单根压杆，可依据工程实际的不同情况，分别对竖向力的偏心矩规定不同的值，以此为依据来计算压杆截面的弯矩；对于模板支架中的立杆，可用连续粱的力学模型来计算。当然，有关力学模型及计算公式应当由技术标准给出，而制定技术标准的数据应当由真型实验结果来决定。
参考文献
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材料力学，孙训方等编写，1979年第1版 结构力学，杨天祥主编，1979年第1版
ANALYZING THE ERROR OF EULER FORMULA ABOUT
STABILITY OF THE COMPRESSION BAR
Lin Yining
（Guangxi Construction Engineering Quality and Safety Supervision Head Station, Nanning, 530022）
Abstract Due to the analysis about Euler formula, it is found that critical state of the compression bar does not
exist ，the deduce process and conclusions of Euler formula are wrong.
Keywords Euler formula ，Critical state，Critical force，Critical Stress
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