发布时间 : 星期五 文章八年级数学竞赛培训：勾股定理更新完毕开始阅读8c31d02779563c1ec5da71b2
新课标八年级数学竞赛培训第13讲：勾股定理
参考答案与试题解析
一、填空题（共9小题，每小题4分，满分36分） 1．（4分）（2001?重庆）如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE．B、E在C、D的同侧，若AB=，则BE= 1 ．
考点： 等腰直角三角形；全等三角形的判定；等边三角形的性质；勾股定理． 分析： 由等腰直角三角形ABC中，AB=，由勾股定理可知AC=AB=1，再证△ADC≌△BDE，从而推出BE=AC=1． 解答： 解：∵等腰直角三角形ABC中，AB=∴AC=AB=1， ， ∵等边△ABD和等边△DCE， ∴AD=BD，CD=ED，∠ADB=∠CDE， ∴∠ADC=∠BDE， 在△ADC和△BDE中，， ∴△ADC≌△BDE（SAS）， ∴BE=AC=1． 点评： 解决本题的关键是利用三角形全等得到所求线段的转化． 2．（4分）如图所示，在△ABC中，AB=5cm，AC=13cm，BC边上的中线AD=6cm，那么边BC的长为
cm．
考点： 勾股定理的逆定理；全等三角形的判定与性质；勾股定理． 分析： 延长AD到E，使DE=AD=6，连接CE，可证△ABD≌△ECD，利用勾股定理的逆定理可求∠AEC=90°，再利用勾股定理，即可求出CD的长，进而求出答案． 解答： 解：延长AD到E，使DE=AD=6，连接CE， ∵BD=CD，∠ADB=∠CDE， ∴△ABD≌△ECD， ∴CE=AB=5， 222222∵AC=AE+CE即13=12+5， 5
∴△AEC为直角三角形，即∠E=90°， ∴△DEC为直角三角形， ∴CD=，BC=2CD=2（cm），故填． 点评： 本题需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理和勾股定理的逆定理即可解决问题． 3．（4分）如图，设P是等边△ABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，则∠APB的度数是 150° ．
考点： 旋转的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理． 专题： 计算题． 分析： 将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数． 解答： 解：∵△ABC为等边三角形， ∴BA=BC， 可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA， 连EP，如图， ∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°， ∴△BPE为等边三角形， ∴PE=PB=4，∠BPE=60°， 在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4， 222∴AE=PE+PA， ∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°， ∴∠APB=90°+60°=150°． 故答案为150°． 点评： 本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理． 4．（4分）如图，一个直角三角形的三边长均为正整数，已知它的一条直角边的长恰是1997，那么另一条直角边的长为 1994004 ．
6
考点： 勾股定理． 专题： 计算题；因式分解． 分析： 设斜边为y，另一直角边为x，则存在y2﹣x2=19972，题目中要求x、y为整数，根据因式分解可以求出x、y的数值即可解题． 解答： 解：设斜边为y，另一直角边为x， 222则存在y﹣x=1997， 2即（y+x）（y﹣x）=1997， x，y均为整数 得， 解得x=1994004， 故答案为1994004． 点评： 本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活运用，考查了因式分解的解题方法，本题中运用因式分解法计算x、y是解题的关键． 5．（4分）若△ABC的三边a、b、c满足条件：a+b+c+338=10a+24b+26c，则这个三角形最长边上的高为 考点： 勾股定理的逆定理；非负数的性质：偶次方；完全平方公式． 专题： 计算题． 分析： 首先把已知条件写出三个完全平方公式的和的形式，再根据非负数的性质求得a、b、c，然后根据勾股定理的逆定理判断这个三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式求最长边上的高． 解答： 解：∵a2+b2+c2+338=10a+24b+26c， 222
．
∴（a﹣5）+（b﹣12）+（c﹣13）=0， ∴a﹣5=0，b﹣12=0，c﹣13=0， ∴a=5，b=12，c=13， ∵5+12=13， ∴△ABC是直角三角形， ∴这个三角形最长边上的高为：5×12÷13=故答案为：． ． 222222点评： 本题考查勾股定理的逆定理的应用，注意直角三角形中，斜边上的高=两直角边的乘积÷斜边的长． 6．（4分）（2001?山东）如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿AD对折，点C落在C′处，则BC′与BC之间的数量关系是BC′= BC．
考点： 翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形． 专题： 压轴题． 分析： 设BD=x，则BC=2x；根据折叠的性质可得，找出对应的边角即可求出． 7
解答： 解：BD=C′D=x，∠BC′D=∠ADC=45°，可得∠C′DB=90°；故BC′=BC． 点评： 本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系． 7．（4分）（2008?扬州）如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，如果AP=3，那么线段PP′的长等于 ．
考点： 旋转的性质；等腰直角三角形． 专题： 压轴题． 分析： 根据旋转的性质，知：旋转角度是90°，根据旋转的性质得出AP=AP′=3，即△PAP′是等腰直角三角形，腰长AP=3，则可用勾股定理求出斜边PP′的长． 解答： 解：∵△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合， ∴△ABP≌△ACP′， 即线段AB旋转后到AC， ∴旋转了90°， ∴∠PAP′=∠BAC=90°，AP=AP′=3， ∴PP′=3． 点评： 本题考查旋转的性质和直角三角形的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等． 8．（4分）如图，已知AB=13，BC=14，AC=15，AD⊥BC于D，则AD= 12 ．
考点： 勾股定理． 专题： 计算题． 222分析： 由题意知，BD+DC=14，设BD=x，则CD=14﹣x，在直角△ABD中，AB是斜边，根据勾股定理AB=AD+BD，222在直角△ACD中，根据勾股定理AC=AD+CD，列出方程组即可计算x的值，即可求得AD的长度． 解答： 解：BC=14，且BC=BD+DC， 设BD=x，则DC=14﹣x， 则在直角△ABD中，AB=AD+BD， 222即13=AD+x， 222在直角△ACD中，AC=AD+CD， 222即15=AD+（14﹣x）， 整理计算得x=5， ∴AD==12， 222故答案为 12． 点评： 本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活运用，考查了学生的方程思想，本题中设BD=x，并且在直角△ABD和直角△ACD中根据勾股定理计算BD是解题的关键．
8