发布时间 : 星期六 文章八年级数学竞赛培训：勾股定理更新完毕开始阅读8c31d02779563c1ec5da71b2
所以当a≤haha时，∠A≤45°， 同理∠B≤45°， 故∠C=180°﹣∠A﹣∠B≥90°， 等号当且仅当△ABC为等腰直角三角形时成立， 故选D． 点评： 此题主要考查学生对等腰三角形的性质和勾股定理的理解和掌握，此题要分析各个角的最大度数，所以给此题增加了难度，是一道难题． 17．（5分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，则CF与GB的大小关系是（ ）
A．CF＞GB GB=CF B． C． CF＜GB D． 无法确定 考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；菱形的判定与性质． 专题： 几何综合题． 分析： 用观察和作图的方法可以猜测CF=GB．下面只要证明CF=GB即可．由条件∠ACB=90°，AF平分∠CAB，想到FH⊥AB，垂足为H，连接EH，易证菱形CEHF，平行四边形EHBG，故有CF=EH=GB，从而得证．要证明菱形CEHF，只需证明两对边平行，临边相等，根据菱形的定义即可证明．要证平行四边形EHBG，两对边平行即可．关于证明EH∥BC，只需证明∠AHE=∠B，通过在Rt△ACD与Rt△ACD中，证明∠ACD=∠B、∠AHE=∠ACD即可得． 解答： 解：过F做FH⊥AB且交于点H，连接EH， 在△ACF与△AHF中 ∵AF平分∠CAB交CD于E?， 又∵AF=AF， ∴△ACF≌△AHF， ∴AC=AH， 同理在△ACE与△AHE中，△ACE≌△AHE， 可知CE=EH，∠ACE=∠AHE， 在Rt△ACD中，∠CAD+∠ACD=90°， 在Rt△ABC中，∠CAB+∠B=90°， 又∵∠CAD与∠CAB为同一角， ∴∠ACD=∠B， ∴∠AHE=∠B， ∴EH∥BC， ∵CD⊥AB，FH⊥AB， ∴CD∥FH， ∴四边形CEHF为菱形，四边形EGBH为平行四边形， ∴CF=EH，EH=GB， ∴CF=GB． 故选B． 13
点评： 本题考查全等三角形的性质与判定、角平分线的性质与判定、菱形的性质与判定、直角三角形的性质．难点在于恰当添加辅助线FH、EH，根据题意证明菱形CEHF，平行四边形EHBG．此类题学生丢分率较高，需注意． 18．（5分）（2003?山东）2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是13，小正方
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形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）的值为（ ）
13 19 25 169 A．B． C． D． 考点： 勾股定理． 分析： 根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，2ab即2四个直角三角形的面积和，从而不难求得（a+b）． 222解答： 解：（a+b）=a+b+2ab=大正方形的面积+四个直角三角形的面积和=13+（13﹣1）=25． 故选C． 222点评： 注意完全平方公式的展开：（a+b）=a+b+2ab，还要注意图形的面积和a，b之间的关系． 三、解答题（共12小题，满分0分）
19．如图，已知P是△ABC边BC上一点，且PC=2PB，若∠ABC=45°，∠APC=60°，求：∠ACB的大小．
考点： 轴对称的性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质． 专题： 计算题． 分析： 根据轴对称，角平分线和等边三角形的判定与性质，作C关于AP的对称点C′，连接AC′、BC′、PC′，求得BA平分∠C′BC，C′A平分∠MC′P，从而求得∠ACB的大小． 解答： 解：作C关于AP的对称点C′， 连接AC′、BC′、PC′， 则有PC′=PC=2PB， ∠APC′=∠APC=60° 可证△BC′P为直角三角形（延长PB到D， 使BD=BP，则PD=PC′， 又∠C′PB=60°， 则△C′PD是等边三角形， 由三线合一性质有C′B⊥BP，∠C′BP=90°， 14
因为∠ABC=45°，所以∠C′BA=45°=∠ABC， 所以BA平分∠C′BC 所以A到BC′的距离=A到BC的距离 又因为∠APC′=∠APC，所以PA平分∠C′PC 所以A到PC′距离=A到PC（即BC）的距离 所以A到BC′的距离=A到PC′的距离 所以A是角平分线上的点，即C′A平分∠MC′P 所以∠AC′P=∠MC′P=75°=∠ACB． 点评： 本题考查了轴对称的性质，角平分线的性质和等边三角形的判定与性质，有一定难度，作出辅助线是本题的关键． 20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AC=b，BC=a，AB=c，CD=h． 求证：
．
考点： 勾股定理；勾股定理的逆定理． 专题： 证明题． 分析： 要证明，只需证明即可，在直角△ABC中根据BD+CD=BC求证． 222解答： 证明：在直角△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，则△ACB∽△ADC∽△CDB， =，即=， ∵h（2+）=+=+ =∴点评： =1， ． 本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，解本题的关键是求证=，即=，使得 15
+=+． 21．一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，这样的直角三角形是否存在？若存在，确定它三边的长，若不存在，说明理由． 考点： 一元二次方程的整数根与有理根；勾股定理的逆定理． 专题： 应用题；分类讨论． 分析： 假设存在符合条件的直角三角形，它的三边长为a、b、c，其中c为斜边，则，于是将存在性问题的讨论转化为求方程组的解． 解答： 解：假设符合条件的直角三角形存在，它的三边长为a、b、c，其中c为斜边，则 ， ∵a、b、c均为正整数， ∴a≠b；不妨设a＞b，则有a+b+两边平方，并整理得：消去ab得：22=， ﹣ab﹣ab+2ab=0， ﹣a﹣b+2=0，即（a﹣4）（b﹣4）=8， 又∵8=1×8=2×4， ∴①，解得，则c=13； ②，解得，则c=10； 综上所述，符合条件的直角三角形存在，其边长分别是5、12、13；6、8、10．共有2个这样的直角三角形． 点评： 本题主要考查了一元二次方程的整数根及有理根、勾股定理的逆定理的应用．在解题过程中，当勾股定理不能直接运用时，常需要通过等线段的代换、作辅助垂线等途径，为勾股定理的运用创造必要的条件，有时又需要由线段的数量关系去判断线段的位置关系，这就需要熟悉一些常用的勾股数组． 22．（2010?武义县模拟）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形和平行四边形． （1）使三角形三边长为3，，；
（2）使平行四边形有一锐角为45°，且面积为4．
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