发布时间 : 星期四 文章2020年高考模拟河南省洛阳市高考数学一模试卷(理科) 含解析更新完毕开始阅读8c32db2701d8ce2f0066f5335a8102d276a261b1
A．① B．③ C．①③ D．①②③
【分析】由题意建立空间直角坐标系，求出平面AD1E的一个法向量，利用空间向量分析①②；找出平面AD1E截正方体所得截面，求解体积判断③． 解：建立如图所示空间直角坐标系，
A（1，0，0），D1（0，0，1），E（0，1，），C（0，1，0），
设F（t，t，0）（0≤t≤1）， 则
，
，，
＝（t，t﹣1，0）．
设平面AD1E的一个法向量为
由，取z＝1，则．
由由
，解得t＝∈[0，1]，故①正确；
＝（t，t﹣1，0），
，知
与不共线，故②错误；
平面AD1E把正方体分成两部分如图，正方体体积为1， 三棱台ECH﹣D1DA的体积V＝
∴平面AD1E把正方体分成两部分，较小部分的体积为∴①③正确． 故选：C．
， ，故③正确．
12．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1＞1，且6Sn＝an2+3an+2．若对于任意实数a∈[﹣2，2]．不等式
恒成立，则实数t的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）
B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞） D．[﹣2，2]
【分析】根据an与Sn的关系，求得an的通项公式，消元，利用一元函数的根的分布问题，即可求得t取值范围． 解：由6Sn＝an2+3an+2，
当n＝1时，6a1＝a1+3a1+2．解得a1＝2，
当n≥2时，6Sn﹣1＝an﹣1+3an﹣1+2，两式相减得6an＝an+3an﹣（an﹣1+3an﹣1），整理得（an+an﹣1
2
2
2
2
）（an﹣an﹣1﹣3）＝0，
由an＞0，所以an+an﹣1＞0，所以an﹣an﹣1＝3，
所以数列{an}是以2为首项，3为公差的等差数列，所以an+1＝2+3（n+1﹣1）＝3n+2， 所以
＝
＝3﹣
2
＜3，
*
因此原不等式转化为2t+at﹣1≥3对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N恒成立， 化为：2t2+at﹣4≥0，
设f（a）＝2t+at﹣4，a∈[﹣2，2]， 可得f（2）≥0且f（﹣2）≥0， 即有
，即
，
2
可得t≥2或t≤﹣2，
则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）． 故选：A．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．平面向量与的夹角为60°，且【分析】由已知求得||，然后求出解：∵
，∴
， ，
，
，则
＝
．
，开方得答案．
又与的夹角为60°，∴
＝9+4×3×1×cos60°+4＝19． ∴
＝
故答案为：．
14．若实数x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值是 ﹣9 ．
【分析】作出平面区域，结合Z最小，截距最小平移直线2x+y＝0确定最小值即可．
解：作出不等式组件 所表示的平面区域，
作出直线2x+y＝0，对该直线进行平移， 结合Z最小，直线的截距最小； 可以发现经过点C（﹣3，﹣3）时
Z取得最小值﹣9；
故答案为：﹣9．
15．已知椭圆为右顶点．过坐标原点O的直线交椭圆C于P，
Q两点，线段AP的中点为M，直线QM交x轴于N（2，0），椭圆C的离心率为，则椭
圆C的标准方程为 ．
【分析】设出P点坐标，表示出M的坐标，由Q，N，M三点共线，kMN＝kNQ可计算出a，从而解决问题；
解：设P（x，y），则由A（a，0）；
线段AP的中点为M，则M（，）；
由题意，Q，N，M三点共线，kMN＝kNQ；
即＝；
可得x+a﹣4＝2+x；
所以a＝6，由椭圆C的离心率为，得c＝4，b2＝20；
故椭圆C的标准方程为：．
故答案为：．
16．已知函数
实数a的取值范围为 a≤﹣
2
，且f（x）g（x）≤0在定义域内恒成立，则
或a＝e ．
【分析】通过讨论f（x）的符号，结合函数的单调性判断出a的范围即可． 解：若f（x）g（x）≤0在定义域内恒成立，考虑以下情形： ①当f（x）≤0，g（x）≥0同时恒成立时， 由f（x）＝lnx+2ax≤0，即﹣2a≥
恒成立，设h（x）＝
，h′（x）＝
，
当x＞e时，h′（x）＜0，h（x）递减，当0＜x＜e时，h′（x）＞0，h（x）递增， 可得x＝e处h（x）取得极大值，且为最大值， 可得﹣2a≥，即a≤﹣
；
∵由g（x）≥0，即﹣a≥0恒成立得a≤0． ∴a≤﹣
；
②当f（x）≥0，g（x）≤0同时恒成立时，a不存在；
③当a＞0时，∵f（x）＝lnx+2ax为增函数，g（x）＝﹣a为减函数， 若它们有共同零点，则f（x）?g（x）≤0恒成立，
由f（x）＝lnx+2ax＝0，g（x）＝﹣a＝0，联立方程组解得：a＝e2．