发布时间 : 星期六 文章图像处理中正交变换方法对比更新完毕开始阅读8c3552084431b90d6c85c74c
目录
1课程设计目的............................................................................................................. 1 2课程设计要求............................................................................................................. 1 3 正交变换的概述........................................................................................................ 1
3.1 信号的正交分解............................................................................................. 1 3.2 正交变换的定义........................................................................................... 2 3.3 正交变换的分类............................................................................................. 3 3.4 正交变换的标准基......................................................................................... 3
3.4.1 一维DFT的标准基 ............................................................................ 3 3.4.2 二维DFT ............................................................................................. 5 3.4.3 正交变换的标准基图像...................................................................... 6 3.5 正交变换在图像处理中的应用..................................................................... 7 4 傅里叶变换................................................................................................................ 8
4.1 傅里叶变换的定义及基本概念..................................................................... 9 4.2 傅里叶变换代码........................................................................................... 13 4.3 傅里叶变换与逆变换结果........................................................................... 14 5 离散余弦变换.......................................................................................................... 14
5.1 离散余弦变换的定义................................................................................... 14 5.2 离散余弦变换代码....................................................................................... 17 5.3 离散余弦变换与逆变换结果....................................................................... 17 6 小波变换.................................................................................................................. 18
6.1概述................................................................................................................ 18 6.2 小波变换的基本理论................................................................................... 18 6.3 小波变换代码............................................................................................... 20 6.4 小波变换结果............................................................................................... 21 7 结论.......................................................................................................................... 21 8 参考文献.................................................................................................................. 22
图像处理中正交变换方法对比
1课程设计目的
(1) 理解正交变换的基本概念及分类。 (2) 掌握傅立叶变换及逆变换的基本原理方法。 (3) 掌握离散余弦变换的基本原理方法。 (4) 掌握小波变换的基本原理及方法。
(5) 学会利用matlab软件进行数字图像处理与分析
2课程设计要求
（1）掌握课程设计的相关知识、概念清晰。
（2）查阅资料，根据不同处理需求，设计完成对数字图像的处理与分析。 （3）熟练掌握matlab软件的基本操作与处理命令。 （4）进一步理解数字图像处理与分析的过程与意义。
3 正交变换的概述
3.1 信号的正交分解
完备的内积空间称为希尔伯特空间。折X 为一希尔伯特空间,φ1 ,φ2 , ?,φn 是X 空间中的一向量,如果它们是线性独立的,则称之为空间X 中的一组“基”。某一信号x 就可以按这样的一组基向量作分解,即
X=?an?n （式3-1）
n?1N 式（3-1）中a1 , a2 , ?, an 是分解系数, 它们是一组离散值。假设φ1 ,φ2 , ?,φn是一组两两互相正交的向量,则式(3-1) 称为x 的正交展开, 或正交分解。系数a1 , a2 , ?, aN 是x在各个基向量上的投影 ,若N=3 ,其含义如图3-1 所示。
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图3-1 信号的正交分解
3.2 正交变换的定义
一维序列 {f(x),0?x?N?1} 可以表示成一个N维向量 U?其中变换矩阵A满足A?称为正交阵。
向量 V?
?1?f(0),f(1),...,f(N?1)?
TN?1x?0 其酉变换可以表示为 V?AU 或 g(u)??a(u,x)f(x)，0?u?N?1
A?T（酉矩阵），若A为实数阵，则满足A?T?1AT，
?g(0),g(1),...,g(N?1)?
?T??A可知，给定基向量a?{a?(u,x),0?x?N?1}, 0?u?N?1，原序列f（x）
由此，U可以表示为 U?x?0V 或 f(x)??g(u)a(u,x) 0?u?N?1
TN?1?可以由一组系数g（u）（0?u?N?1）表示，这组系数（变换）可以用于滤波，
?a11a12... a1n?数据压缩，特征提取等。
?a21a22...a2n?? 若矩阵 A???............?TT?满足：AA?? ann?AAIan1an2...??则矩阵A就成为正交矩阵。
对于某向量f，用上述正交矩阵进行运算： g?Af 若要恢复f，则 f?A?1g?ATg
以上过程称为正交变换（酉变换）。
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3.3 正交变换的分类
正交变换总的可分为两大类,即非正弦类正交变换和正弦类正交变换。我们经常使用的离散傅立叶变换(DFT) 、离散余弦变换(DCT) 、离散正弦变换(DST) 等属于正弦类变换,其中还包括离散Hartley 变换(DHT) 及离散W 变换(DWT) 等。非正弦类变换包括Walsh —Hadamard 变换(WHT) 、Haar 变换( HRT) 等。由于正弦类变换在理论价值和应用价值上都优于非正弦类变换,从而在正交变换中占据主导地位。
除了正弦类和非正弦类正交变换,还有两种特殊的正交变换,K-L变换和正交小波变换。K-L变换去除信号中的相关性最彻底,且有着最佳的统计特性,被称为最佳变换。但是K-L变换的基函数依赖与原始数据,没有固定的变换核,限制了它的普遍应用。小波变换能够具有很高的时频分辨率,进行局部化分析,通过伸缩平移运算对信号进行多尺度细化,达到高频处时间细分,低频处频率细分。但是小波正交基的结构复杂,具有紧支集的小波正交基不可能具有对称性。随着小波理论及算法的成熟,必将大有作为。
3.4 正交变换的标准基
傅立叶变换是正交变换中最常用的变换,以它为例来讨论正交变换标准基具有普遍意义。
3.4.1 一维DFT的标准基
首先从傅立叶级数进行考虑。假设函数f ( t)满足收敛定理,则函数f ( t) 的傅立叶级数为 a0????ancosnt?bnsinnt? （式3-2） 2n?1a0 , a1 , b1 , ?是函数f ( t) 的傅立叶系数。例如,一矩形波f ( t) 是周期为2π的周期函数,在[ -π,π] 上
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