发布时间 : 星期日 文章样条插值及应用深入研究更新完毕开始阅读8c71ca27e45c3b3567ec8b8e
学院： 研究生学院 专业： 机械工程 组号： 39 成绩：
4f(x)?C[a,b]，s(x)为满足第一种或第二种边界条件的三次样条函数，令定理3：设
h?maxhi0?i?n?1，hi?xi?1?xi(i?0,1,?,n?1)，则有估计式
max|f(k)(k)?sk(x)|?Cka?x?bmax|f(4)(x)|h4?k,a?x?bk?0,1,2 （1.10）
C0?其中
513,C1?,C2?384248。
这个定理不但给出了三次样条插值函数s(x)的误差估计，而且说明当h?0时，s(x)及其一阶导数s'(x)和二阶导数s''(x)均分别一致收敛于f(x),f'(x)及f''(x)。
定理4：s(m,?)中的n?m个样条函数
??xk?k?0,1,2,…,m? （1.11） ?m???(x?xi)??i?1,2,…,n?1在区间[a,b]上线性无关，从而可得到s(m,?)的维数是n?m，即s(m,?)是n?m维线性空间。
B-样条的重要性质 性质1：递推关系
??1,x?(xj,xj?1)Bj,n(x)?? （1.12）
??0,其他Bj,k(x)?x?xjxj?k?xjBj,k?1(x)?xj?k?1?xxj?k?1?xj?1Bj?1,k?1(x),k?1,2,…,m。
性质2：正性与局部非零性
??0,Bj,m(x)?????0,
性质3：规范性
x?(xj,xj?m?1)x?(xj,xj?m?1) （1.13）
j??m?Bn?1j,m(x)?j?i?m?Bij,m(x)?1,x?[xi,xi?1] （1.14）
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四．《样条插值及应用》国外研究进展
样条函数是计算数学以及计算机辅助几何设计的重要工具。1946年，I.J.Schoenberg著名的关于一元样条函数的奠基性论文“Contribution to the problem of application of equidistant data by analytic functions\的发表，建立了一元样条函数的理论基础。自此之后，关于样条函数的研究工作逐渐深入。随着电子计算机技术的不断进步，样条函数的理论究得到迅速的发展和广泛的应用。经过数学工作者的努力，已经形成了较为系统的理论体系。
1953年，I.J.Schoenberg与 A Whitney获得了判断一元样条插值节点组是否为适定节点组的准则，即著名的Sehoenberg-Whimey定理。1966年，H.B.Curry与I.J.Sehoenberg引入一元B样条，给出了重要的样条函数的B样条基的表示方法。有了完整的B样条基理论之后，样条函数逼近无论在理论在理论研究还是在应用问题探讨方面都更加方便。此后，关于样条函数的理论以及应用的研究不断取得进展。特别地，随着计算机技术的飞速发展，人们进一步认识到样条如同多项式一般的计算方便性以及强于多项式的局部可调的灵活性、易存储性等诸多性质的重要意义，并把它应用到与科学计算相关的许多领域，比如数值逼近、微分方程数值解、计算机辅助几何设计、小波及有限元等。同时，样条函数在各个方面的推广也为数学工作者们密切关注并展开积极研究的重要课题。
样条在多元方面的推广自1960年Birkhoff与Garabedian开始。但是，由于它的复杂性，这方面的研究工作不如一元样条函数那样顺利。1962年，C.deBoor研究并证明了一些双三次内插样条的存在与唯一性但其方法本质上只是一元样条函数的简单推广。
1975年，美国锡拉丘斯(Syracuse)大学的弗斯普里尔(Versprille)在他的博士论文中首先提出了有理B样条方法。后来主要有皮格尔(Piegl)与蒂勒(Tiller)分别独立或联名发表的论文对 NUBB 方法进行深入的研究工作，还有法林(Farin)等人的工作，使这个方法在理论上与实用上逐步趋向成熟。NUBB方法在B样条方法的基础上，引入了权因子与分母，看似简单，却导致了投影变换、几何原理与算法、权因子的意义与作用、权因子与参数化等一系列新概念与性质，不但具有计算稳定、灵活性强等优点，而且应用广泛。
1984 年，Sederberg 提出了分段代数样条在几何设计中的应用，由于它表示简单，应用方便，受到了较多的关注和讨论。尤其是1990年 Plauszny等研究的一种特殊的平面三次代数曲线，即A-spline，获得了很好的应用。
1996年，Loe在 B样条的基础上提出了线性奇异混合B样条，即??B样条，这种样条可
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以根据控制点的权参数来调节曲线形状，但不能插值给定数据点。
2003-2004年，Chiew-Lan tai和潘永娟等人通过一个可调的形状控制参数?构造了一类插值曲线，可对曲线形状进行调控，但是仍需通过方程组来求解。
五．《样条插值及应用》国内研究现状
1975年，我国学者齐东旭提出多结点样条插值法，这类样条函数通过增加更多的附加结点，在原来的结点上构造高精度样条逼近格式。这种方法无须求解方程组，插值多项式的阶数不随节点的增多而变化，而且具有对称性和Ck?1导数连续性，以及保证了插值的局部性和
有效性。在此基础上，我国学术界进行了更深入的发掘和研究，发表了一系列论文。
与此同时，孙家昶提出了圆弧插值样条。这种样条曲线，在计算上比其它样条曲线简单、准确，在曲线加工方面，机械加工很容易进行。但是在有些情况下圆弧稳定性不强、方法不完善，而且不能保证误差在规定范围内，在应用中具有一定局限性。此后，很多文献给出了进一步理论分析和应用。
2001年，张三元等人提出一种新的插值曲线：通过给定的几何约束构造曲线，这些几何约束包括控制顶点、两个端点、两端点处切线及曲率。这个方法构造的曲线不仅可以减少计算的复杂度，而且还具有易于实现离散数据的拟合、操作简单等优点，但是随着参数的变化，曲线会产生一些不希望出现的尖点、拐点和结点， 并且在描述复杂图形时如何实现曲线段光滑拼接问题以及如何保证拼接后曲线原有的凹凸性、单调性等问题，也没有得到有效解决。
目前，样条曲线的研究已经有比较完善的理论体系， 但是关于代数曲线的研究还是相当有限的。 尤其是当给定了逼近误差，在保持原曲线一些重要性质的条件下，如何更好地去插值逼近，这对曲线插值逼近理论以及实际应用有着非常重要的意义。
六．《样条插值及应用》方法有多少？
1．线性样条插值 2．二次样条插值 3．三次样条插值
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4．B-样条插值
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