发布时间 : 星期三 文章样条插值及应用深入研究更新完毕开始阅读8c71ca27e45c3b3567ec8b8e
学院： 研究生学院 专业： 机械工程 组号： 39 成绩：
yn?yn?1yn?1?yn?2yn?2?yn?3y?yy?y?+-…-21+10=y'0 （2.25） hn?1hn?2hn?3h1h0这就转化为第一种情况， 可由式（2.8）（2.9）得到二次样条插值函数。 2.1.1.2 三次样条插值
（1）用一个弹性条，在节点处将其固定而得曲线。有力学知识可得，这样的曲线具有二阶连续导数。分段线性插值导数f'(x)不连续，若每一段?xi,xi?1?用二次多项式a2x2?a1x?a0来取代直线a1x?a0，则每一段有三个系数需要确定，除条件(xi,yi)(xi?1,yi?1)外，还可附加一个导数条件(xi,fxi'(，只要给定f'x(0(，)则可保证f'x)连续。但是
这在物f'(x0)?f'(x1)?…?f'(xn)这一过程实质上是由f'(x)决定了所有节点上的导数值，理上的合理性是有限的，显然这些f'(xi)并非真实的导数值。故此我们想到用三次函数来取代二次函数，这样灵活性更大，效果更好。
若函数s(x)?2C[a,，b]且在每个小区间[xj,xj?1]是三次多项式，其中
a?x0?x1?x?xn??b2...?xn??11是给定节点，则称s(x)是节点x0,x1,x2,...,xn?1上的三次样条函数。若在节点xj上给定函数值si(x)?yi?zix(?xis(xj)?yj,j?0,1,…，n，则称s(x)为三次样条插值函数。
yi?1?yixi(?xi?)yi，并成立
xi?1?xi根据s(x)在[a,b]上二阶可导连续，在节点xj(j?0,1,…，n?1)处应满足连续性条件：
s(xj?0)?s(xj?0)，s'(xj?0)?s'(xj?0)，s''(xj?0)?s''(xj?0)。除此之外通常可在区间
[a,b]的端点x?x上各加一个条件（称为边界条件），来确定s(x)。边界条件可根据实际情
n0况问题的要求给定。常见的有以下3种：
已知两端的一阶导数值，即
s'(x0)?f0'，s'(xn)?fn' （2.26）
已知两端的二阶导数，即
s''(x0)?f(x)''，s''(xn)?fn'' （2.27）
其特殊情况为s''(x0)?s''(xn)?0，称为自然边界条件。
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当f(x)是以xn?x0为周期的周期函数时，则要求s(x)也是周期函数，这时边界条件应满足
?s(xj?0)?s(xj?0)??s'(xj?0)?s'(xj?0) （2.28） ??s''(xj?0)?s''(xj?0)此时s(xj)?yj,j?0,1,…，n中yn?y0，这样确定的样条函数s(x)称为周期样条函数。
（2）三次样条插值函数的构建
三弯矩插值法构造样条插值
现在推广在区间[xi,xi?1]上三次样条插值函数s(x)的表达式。首先，s''(x)在节点上连续，故可记Mi?s''(xi)(i?0,1,,n)，并记hi?xi?1?xi(i?0,1,,n?1)。由于s(x)是2阶光滑的分段
三次多项式，于是s''(x)是分段线性连续函数，故在区间[xi,xi?1]上s''(x)可由(xi,Mi)与
(xi?1,Mi?1)两点的线性插值函数
s''(x)?
所决定，其中Mi(i?0,1,xi?1?xx?xiMi?Mi?1,x?[x,xi?1]hihi （2.29）
,n)是待定的参数．为了求出s(x)在[xi,xi?1]上的表达式，只需对式 s'(x0)?f'0,s'(xn)?f'n, （2.30）
在区间[xi,xi?1]上积分两次，便得下列关系式，?x?[x,xi?1]，有
(xi?1?x)2(x?xi)2s'(x)??Mi?Mi?1?Ai2hi2hi （2.31） (xi?1?x)3(x?xi)3s(x)?Mi?Mi?1?Ai(x?xi)?Bi6hi6hi （2.32）
其中，Ai,Bi为积分常数。利用插值条件s(xi)?fi,s(xi?1)?fi?1得出Ai,Bi满足方程
?hi2?Mi?Bi?fi?6,?2?hiM?Ah?B?fi?1iiii?1??6 （2.33）
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从而可确定两积分常数
2fi?1?fihihAi??(Mi?1?Mi),Bi?fi?iMihi66 （2.34）
将积分常数Ai,Bi代入式（2.32）和式（2.31）中，于是可得s(x)及s'(x)在区间 [xi,xi?1](i?0,1,n?,上的表达式1)(xi?1?x)3(x?xi)3x?xis(x)?Mi?Mi?1?6hi6hihi??hi2hi2?fi?1?fi?(Mi?1?Mi)??fi?Mi,
66??（2.35）
(xi?1?x)2(x?xi)2f?fihis'(x)??Mi?Mi?1?i?1?(Mi?1?Mi)．2hi2hihi6 （2.36）
因此，只要知道Mi(i?0,1,,n)，s(x)的表达式也就完全确定了。
为了确定Mi(i?0,1,?,n)，必须应用样条节点光滑连续条件
?s(xi?0)?s(xi?0)?'?s(xi?0)?s'(xi?0) (i?1,2,?,n?1) （2.37） ?s''(x?0)?s''(x?0)ii?中的
s'(xi?0)?s'(xi?0) （2.38）
由式（2.36）可得
s'(xi?0)??hif?fihiMi?i?1?(Mi?1?Mi).2hi6 （2.39）
类似的，可以推导出s'(x)在[xi?1,xi]上的表达式，从而可以得到
s'(xi?0)?hi?1f?fi?1hi?1Mi?i?(Mi?Mi?1).2hi?16 （2.40）
因此，根据连续性条件（2.38），并经整理可得
?iMi?1?2Mi??iMi?1?di(i?0,1,?,n?1)， （2.41）
其中，
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???i????i????di?????????hi?1hi?1?hihihi?1?hi?1??i??f?fifi?fi?1?1?6?i?1??hi?1?hi?1?hi?hif[xi,xi?1]?f[xi?1,xi]?6hi?1?hi?6f[xi?1,xi,xi?1] （2.42）
此时，求Mi(i?0,1,?,n)转化成求解方程组(1.20)，它是一个含有n?1个未知量的n?1个方程组成的方程组，要惟一确定未知量Mi(i?0,1,?,n)，还需要利用边界条件来补充两个方程。
① 一阶边界条件情形：由边界条件
s'(x0)?f'0,及式（2.39）和式（2.40），可导出补充方程
s'(xn)?f'n, （2.43）
6?'2M?M?(f[x,x]?f1010)?0h?0??M?2M?6(f'?f[x,x])n?1nnn?1n?hn?1? （2.44）
这时，即若
6?'??1,d?(f[x,x]?f0010)?0h?0,?6???1,d?(fn'?f[xn?1,xn])nn?hn?1 ? （2.45）
则可求的Mi(i?0,1,?,n)的线性方程组：
?2???1??????02??1??n?1??M0??d0???M??d???1??1???????????????2?n?1??Mn?1??dn?1??n2????Mn????dn?? （2.46）
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