发布时间 : 星期日 文章2020届湖南省株洲市第二中学高三下学期4月高考模拟数学试题解析更新完毕开始阅读8cc5943077eeaeaad1f34693daef5ef7bb0d124a
收入也逐年增加.为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：
附：参考数据与公式 6.92?2.63，若 X~N??,??，则①
2P(????X???)?0.6827；② P(??2??X??2?)?0.9545；③ P(??3??X??3?)?0.9973.
（1）根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入x（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；
（2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入 X 服从正态分布 N?,??2?，
其中?近似为年平均收入x,?2 近似为样本方差s2 ，经计算得：s2?6.92，利用该正态分布，求：
（i）在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元?
（ii）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少?
答案：（1）17.4；（2）（i）14.77千元（ii）978位
（1）用每个小矩形的面积乘以该组中点值，再求和即可得到平均数； （2）（i）根据正态分布可得：P(X????)?0.5?0.6827?0.8414即可得解；（ii）2根据正态分布求出每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，利用独立重复试验概率计算法则求得概率最大值的k的取值即可得解. 解：
（1）由频率分布直方图可得：
x?12?0.04?14?0.12?16?0.28?18?0.36?20?0.1?22?0.06?24?0.04?17.4；
（2）（i）由题X~N?17.4,6.92?，P(X????)?0.5?0.6827?0.8414， 2所以????17.4?2.63?14.77满足题意，即最低年收入大约14.77千元； （ii）P(X?12.14)?P(X???2?)?0.5?0.9545?0.9773， 2每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773， 记这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数为X，X恰有k位农民中的年收入不少于12.14千元的概率
kP?X?k??C10000.9973k?1?0.9973?1000?kB?1000,0.9773?
P?X?k??1001?k??0.9773?1?得k?1001?0.9773?978.2773，
P?X?k?1?k??1?0.9773?所以当0?k?978时，P?X?k?1??P?X?k?，当979?k?1000时，
P?X?k?1??P?X?k?，所以这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数
最有可能是978位. 点评：
此题考查频率分布直方图求平均数，利用正态分布估计概率，结合独立重复试验计算概率公式求解具体问题，综合性强. 21．已知函数f?x??alnx?xb?a?0?．
（1）当b?2时，讨论函数f?x?的单调性；
（2）当a?b?0，b?0时，对任意x??,e?，有f?x??e?1成立，求实数b的取
e值范围．
答案：（1）当b?2，a?0时，函数f?x?在?0,???上单调递增；当b?2，a?0时，
?1??????a?a函数f?x?在?（2）?0,1? ?0,?2??上单调递减，在???2,????上单调递增．
????2x2?a（1）求出导数f??x??对a分类讨论，明确函数函数f?x?的单调性； ，x（2）对任意x??,e?，有f?x??e?1成立，等价于
e?1???f?x?max?e?1．f??x???1??e?bxb?1x?b???，函数f?x?在?1,1?上单调递减，在?1,e?上单调
??e?b递增，f?x?max为f???b?e与f?e???b?e中的较大者．再利用导数求解不等
式即可. 解：
（1）函数f?x?的定义域为?0,???．
a2x2?a当b?2时，f?x??alnx?x，所以f??x???2x?．
xx2当a?0时，f??x??0，所以函数f?x?在?0,???上单调递增． 当a?0时，令f??x??0，解得x??a， 2?a?a?0,?当0?x??时，f?x??0，所以函数f?x?在????上单调递减； 22??当x????aa?,??时，f??x??0，所以函数f?x?在?上单调递增． ???22??综上所述，当b?2，a?0时，函数f?x?在?0,???上单调递增；
当b?2，a?0时，函数f?x?在? ?0,?2??上单调递减，在???2,????上单调递增．
????（2）因为对任意x??,e?，有f?x??e?1成立，所以f?x?max?e?1．
ebbx?1?bb?1当a?b?0即a??b时，f?x???blnx?x，f??x??． ?bx?xx?a??a??1???b??令f??x??0，得0?x?1；令f??x??0，得x?1． 所以函数f?x?在?,1?上单调递减，在?1,e?上单调递增，
?1??e?f?x?max为f???b?e?b与f?e???b?eb中的较大者．
?e?设g?b??f?e??f???e?eb?1??1??e??b?2b ?b?0?，
则g??b??eb?e?b?2?2eb?e?b?2?0，
所以g?b?在?0,???上单调递增，故g?b??g?0??0所以f?e??f??， 从而??f?x???max? f?e???b?e．
b?1??e?所以?b?eb?e?1即eb?b?e?1?0．
设??b?=e?b?e?1 ?b?0?，则???b?=e?1?0．
bb所以??b?在?0,???上单调递增．
又??1??0，所以eb?b?e?1?0的解为b?1． 因为b?0，所以b的取值范围为?0,1?． 点评：
导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若f(x)?0就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为f(x)min?0，若f(x)?0恒成立，转化为f(x)max?0；（3）若f(x)?g(x)恒成立，可转化为f(xmin)?g(x)max. 22．已知曲线的参数方程为
（为参数），
，为曲线上的一动点.
（I）求动点对应的参数从变动到时，线段（Ⅱ）若直线
所扫过的图形面积；
的中点？若
与曲线的另一个交点为，是否存在点，使得为线段
存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）存在点满足题意，且（Ⅰ）先判断出线段
.
所扫过的图形由一三角形和一弓形组成，然后通过分析图形的
，由题意得
，
特征并结合扇形的面积可得所求．（Ⅱ）设然后根据点在曲线上求出解： （Ⅰ）设则线段（Ⅱ）设∵为线段
时对应的点为扫过的面积
，
的中点，
，
后可得点的坐标．
时对应的点为，由题意得轴，
.