发布时间 : 星期日 文章近世代数复习题（陕西师范大学版）更新完毕开始阅读8ccf11ea524de518964b7d18
陕西师大08级近世代数（一）
一、单项选择题
1. 如果A?B?A?B，则( )。
A.A?B B. A?B C. A?B D. A?B 2.设S?{0,1,2}，则S上的等价关系有（）个。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 指出下列运算（ ）是对应集合的二元运算 A．在有理数集Q上，a?b?ab B. 在非零有理数集Q*上，a?b?a?b
C. 在有理数集Q上，a?b?a?b D. 在非零有理数集Q*上，a?b?a2?b2 4. 下列集合（）对运算a?b=a?b?2作成交换群。
A．整数集Z B. 非零实数集R* C. 非零有理数集Q* D. 非零整数集Z* 5. 模6加群Z6的生成元有（）个。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6.设G?(R*,?)，下列（）规则是群G的自同态映射。 A.x?2x B. x?x2 C.x??x D.x??7.下面（）环是非交换环。
A. (Mn(F),?,?) B. (Z,?,?) C. (Zm,?,?) D. 高斯整环
8. 设F是域，且|F|?16，则F的特征为（）。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 9.模12的剩余类环Z12中，子环（）无零因子。
A. {0,6} B. {0,4,8} C.{0,3,6,9} D.{0,2,4,6,8,10}
??1x
10.设R，R是两个环，且R~R，则下列命题中的错误的是（）。
??A.若R是可换环，则R可换 B. 若R有单位元，则R有单位元
??C. 若R无零因子，则R无零因子 D. 若a是R的逆元，则a象是R逆元。 二、计算题
设?,?????5??1?S5，其中??(123)(45)， 2431435??。 ?2??1 1.求?的周期; 2.求???3.将????1及其周期;
表示成形式为(1i)的2-循环置换的乘积。
三、计算与证明题 设S3是三次对称群。
1. 把S3的所有元素写成不相连的循环置换的乘积。 2. 证明S3是阶数最小的不可换群。 四、证明题
假定～是一个群G的元间的一个等价关系，并且对于G
的任意三个元a,x,y来说，有ax～ay?x～y。
证明：与G的单位元e等价的元所作成的集合是G的一个子群。 五、证明题
设群G=(a)且a的周期是n.
证明:对n的每一个正因子k,有且只有一个k阶子群。 六、证明题
设G是一个阶大于1的群,证明：G只有平凡子群当且仅当G为素数阶循环群。 七、证明题(20分)
假定R[x]是整数环R上的一元多项式。 1. 写出R[x]的理想(2,x)所含元素形式. 2. 证明:(2,x)不是R[x]主理想.
3. 证明:若R是有理数域,那么(2,x)是R[x]的一个主理想. 4. (x)是不是R[x]的最大理想?若R是有理数域时,情形如何?
a??1,x?h(x)a这样?1?p(x)?(2,x)是矛盾的.
九、证明：在一个没有零因子的环R里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是一样的。 十、证明：有理数域Q是所有复数a?bi，其中a,b是有理数，作成的域R(i)的唯一的真子域。
陕西师大08级近世代数（二）
一、判断题
1. 集合A的一个分类决定A的一个等价关系。（ ）
2. 设H1,H2均为群G的子群，则H1?H2也为G的子群。 （ ） 3. 群G的不变子群N的不变子群M未必是G的不变子群。（ ） 4. 环R的中心一定是环R的理想。（ ） 5. 除环的子环也是除环。（ ） 二、计算题
?1设??S6，其中????3?253441566??。 2???11. 将?分解成不相交轮换的乘积；2. ?求的周期； 3. 求?三、证明题
若G群的每一个元都适合方程x2?e。证明:G是交换群。 四、证明题
假定群G的元a的周期是n.证明:
a的周期是
r。
nd,这里d?(r,n)是r和n的最大公 因子。
五、证明题
证明：阶是素数的群一定是循环群。 六、证明题
??假定G和G是两个群,并且?是G到G的同态满射。
1. 证明ker?是群G的正规子群；2. 证明?是同构映射当且仅当ker?={e}。 七、证明题
一个至少有两个元而且没有零因子的有限环是一个除环。
八．设有理数域F上的全部2?2矩阵环为F22.证明:F22只有零理想同单位理想,但不是一个除环.
九、环R叫Boole环是指a?a,?a?R。证明：每个Boole环都是交换环并且
a?a?0,?a?R。
2十、Z3是模3的剩余类所作成的集合。找出加群Z3的所有自同构映射，再找出域Z3的所有自同构映射。
陕西师大08级近世代数（三）
1. 如果A?B?A?C,A?B?A?C， 则（ ）。 A.B?C B. B?C C. B?C D. B?C
2. 设A?{1,2,3},B?{a,b,c}，则A到B的映射个数有（ ）。 A. 9 B. 6 C. 12 D. 27 3. 指出下列那些运算是二元运算（ ）。 A．在整数集Z上，a?b?a?bab B. 在有理数集Q上，a?b?ab
C.在正实数集R?上，a?b?alnb D.在集合?n?Zn?0?上，a?b?a?b 4. 下面是交换半群，但不是群的是（ ）。
A. (N,?) B. (Q,?) C. (Z*,?), 其中是非零整数集合 D. (C,?) 5. 设e是群G的单位元，a,b是G的两个元素，则（ ）。
A. (ab)?1?a?1b?1 B. (ab)?2?a?2b?2 C. 若a2?e，则a?a?1 D.ab?ba 6.精确到同构, 4阶群有( )个。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 以下命题中，正确的是( )。 A. 任意一个环R，必含有单位元
B. 环R中至多有一个单位元
C. 环R有单位元，则它的子环也有单位元
D. 一个环与其子环都有单位元，则两个单位元一定相同 8.Z6的所有子环是（ ）。
A. {0},{0,3},{0,2,4} B. {0},Z6
C. {0},{0,3},Z6 D. {0},{0,3},{0,2,4},Z 9.在高斯整环Z[i]的下面理想中是素理想的是（ ）。 A. (5) B. (2) C. (9) D. (3)
10.数环Z中,n的相伴元是（ ）。
A. 只有n B. 只有?n C. 只有n与?n D. 无数多个
二、填空题
1．设集合A有一个分类，其中Ai与Aj是A的两个类，如果Ai?Aj，那么Ai?Aj?。
2．设群G中元素a的阶为m，如果an?e，那么m与n存在整除关系为( )。 3．凯莱定理说：任一个子群都同一个( )同构。 4．设F是一个有四个元的除环，则F的特征是。
5．设R是有单位元的环，a?R，I是由a生成的主理想，那么I中的元素可以表达为
三、计算题
1．设9次置换????5??1233746516879849??， ?2?（1）将?表成互不相交的轮换乘积； (2) 将?表示成形式为对换的乘积； (3)求出?的逆与的阶。
四、证明题
1．证明：6阶群至少有一个3阶子群。
2．设?是群G到群G的一个同态满射，K?Ker?,H?G,则??1(?(H))?HK。 3.假定R是由所有复数a?bi(a,b是整数)作成的环, (1)环R/(1?i)有多少元? (2) 证明:R/(1?i)是一个域. 4.假定R是偶数环。
(1). 证明：所有整数4r(r?R)是的一个理想N； (2). 证明:(4)是R的最大理想,但R/(4)不是一个域。
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