发布时间 : 星期五 文章2019_2020学年高中数学第二章平面解析几何初步2.3.1圆的标准方程学案新人教B版必修2更新完毕开始阅读8d03bd981611cc7931b765ce05087632311274a7
2．3．1 圆的标准方程
1．了解点与圆的位置关系． 2．理解圆的定义及标准方程． 3．掌握求圆的标准方程的一般方法，能根据所给条件求圆的标准方程．
1．圆的标准方程
(1)圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点就是圆心，定长就是半径．
(2)圆的标准方程的形式：(x－a)＋(y－b)＝r． (3)求圆的方程的步骤：建系、设点、列式、化简、证明． 2．点与圆的位置关系
代数法：圆的标准方程(x－a)＋(y－b)＝r，点M(x0，y0)： (1)点在圆上：(x0－a)＋(y0－b)＝r； (2)点在圆外：(x0－a)＋(y0－b)＞r； (3)点在圆内：(x0－a)＋(y0－b)＜r．
几何法：设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：
位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
d与r的大小关系 d>r d＝r
d (3)(x＋1)＋(y－2)＝m(m>0)． 解：根据圆的标准方程(x－a)＋(y－b)＝r(r>0)中圆心为(a，b)，半径为r，故 (1)圆心坐标是(2，5)，半径是3． (2)圆心坐标是(0，0)，半径是16． (3)圆心坐标是(－1，2)，半径是m． 2．写出下列各圆的标准方程． (1)圆心在原点，半径为2； 1 (2)圆心是直线x＋y－1＝0与2x－y＋3＝0的交点，半径为． 4解：(1)因为圆心在原点，半径为2，即a＝0，b＝0，r＝2． 所以圆的标准方程为x＋y＝4． 1 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 ??x＋y－1＝0， (2)圆心是两直线的交点，即圆心在?上， ?2x－y＋3＝0，? ?25?所以圆心为?－，?． ?33? 1 又因为半径为， 4 2??5?1?x＋所以圆的标准方程为?＋?y－?＝． ? ?3??3?16 3．已知圆心在C(3，4)，半径r＝5，求此圆的标准方程，并判断点A(0，0)，B(1，3)是在圆上、在圆外、还是在圆内． 解：法一：所求圆的标准方程为(x－3)＋(y－4)＝25， 因为点A(0，0)与圆心C(3，4)的距离为d＝5，而r＝5，d＝r，所以点A(0，0)在圆上． 因为点B(1，3)与圆心C(3，4)的距离为 2 2 22 d＝(1－3)2＋(3－4)2＝5<5， 所以点B(1，3)在圆内． 法二：所求圆的标准方程为(x－3)＋(y－4)＝25， 将A(0，0)，B(1，3)分别代入圆的方程，得(0－3)＋(0－4)＝25，(1－3)＋(3－4)＝5<25， 所以点A(0，0)在圆上，点B(1，3)在圆内． 2 2 2 2 2 2 求圆的标准方程 求下列圆的标准方程． (1)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)； (2)求过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程． 【解】 (1)设圆心为C(0，b)，则(3－0)＋(－4－b)＝5， 所以b＝0或b＝－8， 所以圆心为(0，0)或(0，－8)，又r＝5， 所以圆的标准方程为x＋y＝25或x＋(y＋8)＝25． (2)法一：设点C为圆心， 因为点C在直线x＋y－2＝0上， 所以可设点C的坐标为(a，2－a)． 又因为该圆经过A，B两点，所以|CA|＝|CB|． 所以(a－1)＋(2－a＋1)＝(a＋1)＋(2－a－1)， 解得a＝1． 2 22222 2 2 2 2 2 2 所以圆心坐标为C(1，1)，半径长r＝|CA|＝2． 故所求圆的标准方程为(x－1)＋(y－1)＝4． 法二：由已知可得线段AB的中点坐标为(0，0)，kAB＝ 1－(－1) ＝－1，所以弦AB的垂 －1－1 2 2 直平分线的斜率为k＝1，所以AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，即y＝x．则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点， ???y＝x，?x＝1，22?由解得?即圆心为(1，1)，圆的半径为(1－1)＋[1－(－1)]＝2， ?x＋y－2＝0，?y＝1，?? 故所求圆的标准方程为(x－1)＋(y－1)＝4． 本例(2)改为求经过点A(1，－1)，B(－1，1)面积最小的圆的标准方程， 如何求解？ 1解：当AB为圆的直径时，半径最小，从而圆面积最小．此时圆心C(0，0)，半径r＝|AB| 212222 ＝(－1－1)＋(1＋1)＝2，所以所求圆的标准方程为x＋y＝2． 2 (1)用直接法求圆的标准方程的策略 ①确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程． ②确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必过圆心”等． (2)待定系数法求圆的标准方程的一般步骤 22 已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)， 求该三角形的外接圆的方程． 解：设所求圆的标准方程为(x－a)＋(y－b)＝r． 因为A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)都在圆上， 所以它们的坐标都满足圆的标准方程，于是有 (0－a)＋(5－b)＝r，??222 ?(1－a)＋(－2－b)＝r， ??(－3－a)2＋(－4－b)2＝r2， 2 2 2 2 2 2 3 a＝－3，?? 解得?b＝1， ??r2＝25. 所以，所求圆的标准方程是 (x＋3)＋(y－1)＝25． 点与圆的位置关系 已知圆心为C(5，6)，且过点A(4，9)的圆，试判断点M(6，9)，N(3，3)，O(5， 2 2 3)与圆C的位置关系． 【解】 法一：因为圆心为C(5，6)，点A(4，9)在圆上， 所以圆的半径r＝|CA|＝(5－4)2 ＋(6－9)2 ＝10． 又|MC|＝(6－5)2 ＋(9－6)2 ＝10，所以点M在圆上； |NC|＝(5－3)2 ＋(6－3)2 ＝13>10， 所以点N在圆外； |OC|＝(5－5)2 ＋(6－3)2 ＝9<10， 所以点O在圆内． 法二：因为圆的半径为r＝|CA|＝(5－4)2 ＋(6－9)2 ＝10， 所以圆的方程为(x－5)2 ＋(y－6)2 ＝10． 分别将M(6，9)，N(3，3)，O(5，3)代入得， (6－5)2 ＋(9－6)2 ＝10，所以点M在圆上； (3－5)2 ＋(3－6)2 ＝13>10，所以点N在圆外； (5－5)2 ＋(3－6)2 ＝9<10，所以点O在圆内． 判断点与圆位置关系的两种方法 (1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小． (2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断： 点P(x2 2 2 0，y0)在圆C上?(x0－a)＋(y0－b)＝r； 点P(x2 2 2 0，y0)在圆C内?(x0－a)＋(y0－b) 0，y0)在圆C外?(x0－a)＋(y2 2 0－b)>r． 已知两点M(3，8)和N(5，2)． (1)求以MN为直径的圆C的方程； (2)试判断P1(2，8)，P2(3，2)，P3(6，7)是在圆上，在圆内，还是在圆外？ 解：(1)法一：设圆心C(a，b)，半径为r， 4