发布时间 : 星期五 文章2020年山西省太原五中高考(文科)数学模拟试卷(Word版 含解析)更新完毕开始阅读8d2e5b6fa8ea998fcc22bcd126fff705cd175c6e
∴cosB的最小值为．
2
1
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，等差、等比数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键．
AD⊥平面PDC，E为AD的中点，18．如图所示的多面体中，四边形ABCD为平行四边形，F为线段PB上的一点，∠CDP＝120°，AD＝3，AP＝5，????=??√??． （Ⅰ）试确定点F的位置，使得直线EF∥平面PDC； （Ⅱ）若PB＝3BF，求直线AF与平面PBC所成角的正弦值．
【分析】（Ⅰ）设F为BP中点，取AP中点G，连结EF、EG、FG，推导出GF∥AB∥CD，EG∥DP，从而平面GEF∥平面PDC，进而当点F为BP中点时，使得直线EF∥平面PDC．
（Ⅱ）以D为原点，DC为x轴，在平面PDC中过D作CD垂线为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AF与平面PBC所成角的正弦值． 解：（Ⅰ）设F为BP中点，取AP中点G，连结EF、EG、FG， ∵AD⊥平面PDC，四边形ABCD为平行四边形，E为AD的中点， ∴GF∥AB∥CD，EG∥DP，
∵EG∩FG＝G，DP∩CD＝D，∴平面GEF∥平面PDC，
∵EF?平面GEF，∴当点F为BP中点时，使得直线EF∥平面PDC．
（Ⅱ）以D为原点，DC为x轴，在平面PDC中过D作CD垂线为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，
F为线段PB上的一点，AD＝3，AP＝5，∵为AD的中点，∠CDP＝120°，????=??√??． ∴cos120°=
????2+(5?3)?(2√7)222?????√5?32
2
2
，解得CD＝6，
A（0，0，3），B（6，0，3），P（﹣2，2√??，0），C（6，0，0），
设F（a，b，c），由PB＝3BF，得????→
=1????→
，即（a﹣6，b，c﹣3）=1
33（﹣8，2√??，
﹣3）， 解得a=103，b=2√
33，c＝2，∴F（102√33，3
，2）， ????→
=（
10
3，2√33
，﹣1），????→=（0，0，3），????→=（﹣8，2√??，0），
设平面PBC的法向量→
??=（x，y，z），
??→
?????→
则{→=→4???????→????=??
=?????+????
，取x＝1，得??=（1，√????=√3，0），
设直线AF与平面PBC所成角为θ， 则直线AF与平面PBC所成角的正弦值为： →→
sinθ=
|????→???|18√57|????|?|??→|
=
6√1219?√19=
3209．
【点评】本题考查满足面面平行的点的位置位置的确定，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19．2016年春节期间全国流行在微信群里发、抢红包，现假设某人将688元发成手气红包50个，产生的手气红包频数分布表如表： 全额分组 [1，5） [5，9） [9，13） [13，17）
[17，21）频数
3
9
17
11
8
[21，25]2
（I）求产生的手气红包的金额不小于9元的频率；
（Ⅱ）估计手气红包金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （Ⅲ）在这50个红包组成的样本中，将频率视为概率．
（i）若红包金额在区间[21，25]内为最佳运气手，求抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率；
（ii）随机抽取手气红包金额在[1，5）∪[﹣21，25]内的两名幸运者，设其手气金额分别为m，n，求事件“|m﹣n|＞16”的概率．
【分析】（Ⅰ）由题意利用互斥事件概率加法公式能求出产生的手气红包的金额不小于9元的频率．
（Ⅱ）先求出手气红包在[1，5）、[5，9）、[9，13）、[13，17）、[17，21）、[21，25]内的频率，由此能求了出手气红包金额的平均数．
（Ⅲ）（i）由题可知红包金额在区间[21，25]内有两人，由此能求出抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率．
（ii）由频率分布表可知，红包金额在[1，5）内有3人，在[21，25]内有2人，由此能求出事件“|m﹣n|＞16“的概率P（|m﹣n|＞16）．
解：（Ⅰ）由题意得产生的手气红包的金额不小于9元的频率： p=
17+11+8+219
=，
50251925
∴产生的手气红包的金额不小于9元的频率为（Ⅱ）手气红包在[1，5）内的频率为手气红包在[5，9）内的频率为
950
3
．
50
=0.06，
=0.18， =0.34， =0.22， =0.16，
手气红包在[9，13）内的频率为
1750
手气红包在[13，17）内的频率为手气红包在[17，21）内的频率为手气红包在[21，25]内的频率为则手气红包金额的平均数为：
1150850
250
=0.04，
??=3×0.06+7×0.18+11÷0.34+15×0.22+19×0.16+23×0.04＝12.44． （Ⅲ）（i）由题可知红包金额在区间[21，25]内有两人，
∴抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率p=
21
． =5025（ii）由频率分布表可知，红包金额在[1，5）内有3人， 设红包金额分别为a，b，c，在[21，25]内有2人， 设红包金额分别为x，y，
若m，n均在[1，5）内，有3种情况：（a，b），（a，c），（b，c）， 若m，n均在[21，25]内只有一种情况：（x，y）， 若m，n分别在[1，5）和[21，25）内，有6种情况，
即（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y）， ∴基本事件总数n＝10，
而事件“|m﹣n|＞16“所包含的基本事件有6种， ∴P（|m﹣n|＞16）=
63
． =105【点评】本题考查频率的求法，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频数分布表的性质的合理运用． 20．已知椭圆C：
??2??2+
??2??2=??(??＞??＞??)的离心率为
√2，与坐标轴分别交于A，B两点，2
且经过点Q（?√??，1）． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若P（m，n）为椭圆C外一动点，过点P作椭圆C的两条互相垂直的切线l1、l2，求动点P的轨迹方程，并求△ABP面积的最大值．
【分析】（Ⅰ）由离心率及椭圆过的点的坐标，及a，b，c之间的关系可得a，b的值，进而求出椭圆的方程；
（Ⅱ）过P的两条切线分斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率不存在时，直接由椭圆的方程可得切点A，B的坐标，当切线的斜率存在且不为0时，设过P的切线方程，与椭圆联立．由判别式等于0可得参数的关系，进而可得PA，PB的斜率之积，由直线PA，PB互相垂直可得斜率之积等于﹣1，n之间的关系，进而可得m，即P的轨迹方程，PB互相垂直，显然切线斜率不存在时的点P也在轨迹方程上；因为PA，所以三角形PAB
2221
的面积为S△ABP=|PA|?|PB|≤1|????|+|????|=|????|，当且仅当|PA|＝|PB|时取等号，可
2224得球切线PA的斜率为1，求出直线PA的方程，与椭圆联立求出A的坐标，进而求出|PA|的值，再求|AB|的值，即求出三角形PAB面积的最大值．