发布时间 : 星期一 文章导数习题分类精选 - 2更新完毕开始阅读8d6cdcf0af45b307e87197d3
导数习题分类精选 2
导数定义
?x2例1．y?f(x)???ax?b?x2思路：y?f(x)???ax?b∴ ax?1 在x?1处可导，则a? b? x?1x?1 在x?1处可导，必连续limf(x)?1 limf(x)?a?b f(1)?1
x?1x?1x?1???b?1
?y?ylim??2 lim??a ∴ a?2 b??1 ?x?0?x?x?0?x例2．已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限：
f(a?h2)?f(a)f(a?3h)?f(a?h)（1）lim； （2）lim
?h?0?h?02hh分析：在导数定义中，增量△x的形式是多种多样，但不论△x选择哪种形式，△y也必须选择相对应的形式。利用函数f(x)在x处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。 解：（1）limh?0?af(a?3h)?f(a?h)f(a?3h)?f(a)?f(a)?f(a?h)?lim h?02h2hf(a?3h)?f(a)f(a)?f(a?h)?limh?0h?02h2h3f(a?3h)?f(a)1f(a?h)?f(a) ?lim?limh?0h?023h2?h31?f'(a)?f'(a)?2b22?lim?f(a?h2)?f(a)?f(a?h2)?f(a)（2）lim?lim?h? 2h?0h?0hh??f(a?h2)?f(a)?lim?limh?f'(a)?0?0h?0h?0h2
例3．观察(xn)??nxn?1，(sinx)??cosx，(cosx)???sinx，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导
的偶函数的导函数是奇函数。
f(x??x)?f(x)?f?(x)
?x?0?xf(?x??x)?f(?x)f(x??x)?f(x)?lim f?(?x)?lim
?x?0?x?0??x??xf(x??x)?f(x)??f?(x) ?lim??x?0??解：若
f(x)为偶函数 f(?x)?f(x) 令lim∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数
另证：
f??[f(?x)]??f?(?x)?(?x)???f?(x)
1
导数习题分类精选 2
已知函数
f(x)在定义域R上可导，设点P是函数y?f(x)的图象上距离原点O最近的点.
(1) 若点P的坐标为(a,f(a)), 求证：a?f(a)f'(a)?0;
(2) 若函数
y?f(x)的图象不通过坐标原点O, 证明直线OP与函数y?f(x)的图象上点P处切线垂直.
证：(1)设Q(x , f (x) )为y = f (x)上的动点，则|OQ| 2
= x2
+ f 2
( x )， 设F(x) = x2
+ f 2
( x ), 则F'(x)=2x +2f (x)f ' ( x )
已知P为y = f(x) 图形上距离原点O最近的一点，
∴|OP|2
为F(x)的最小值，即F(x) 在x = a处有最小值, 亦即F(x) 在x = a处有极小值
∴ F'(a)=0， 即 2a+2f (a)f ' (a)=0 (2) 线段OP的斜率为
f(a)a，y=f(x)之图形上过P点的切线l的斜率为f ' (a) 由(1)知f (a)f '(a) = – a，
∴图象不过原点，∴a ? 0，∴
f(a)af '(a) = –1 ∴OP⊥l，即直线OP与y=f(x)的图形上过P点的切线垂直.
利用导数证明不等式
例6．求证下列不等式
x21）x?2?ln(1?x)?x?x2（2(1?x) x?(0,??)（相减） （2）sinx?2x? x?(0,?2)（相除）
（3）x?sinx?tanx?x x?(0,?2)
证：（1）
f(x)?ln(1?x)?(x?x22) f(0)?0 f?(x)?11?x?1?x?x2?1x?1?0
∴
y?f(x)为(0,??)上? ∴ x?(0,??) f(x)?0 恒成立
∴ ln(1?x)?x?x22 g(x)?x?x22(1?x)?ln(1?x) g(0)?0
4x2?4x?2x212x2g?(x)?1?4(1?x)2?1?x?4(1?x2)?0
∴ g(x)在(0,??)上? ∴ x?(0,??) x?x22(1?x)?ln(1?x)?0恒成立
2
导数习题分类精选 2
（2）原式?sinxx?2? 令 f(x)?sinx/x x?(0,?2) cosx?0 x?tanx?0 ∴ f?(x)?cosx(x?tanx)x2 ∴ x?(0,?2) f?(x)?0 (0,?2)?
f(?2)?2? ∴ sinx?2x? （3）令
f(x)?tanx?2x?sinx f(0)?0
f?(x)?sec2x?2?cosx?(1?cosx)(cosx?sin2x)cos2x
x?(0,?2) f?(x)?0 ∴ (0,?2)?
∴ tanx?x?x?sinx
（理做）设a≥0，f (x)=x－1－ln2
x＋2a ln x（x>0）.
（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2
x－2a ln x＋1. （Ⅰ）解：根据求导法则有f?(x)?1?2lnx?2ax，x?0，
x故F(x)?xf?(x)?x?2lnx?2a，x?0，于是F?(x)?1?2x?x?2x，x?0，
列表如下：
x (0，2) 2 (2，?∞) F?(x) ? 0 ? F(x) ? 极小值F(2) ? 故知F(x)在(0，2)内是减函数，在(2，?∞)内是增函数，所以，在x?2处取得极小值F(2)?2?2ln2?2a．
（Ⅱ）证明：由a≥0知，F(x)的极小值F(2)?2?2ln2?2a?0．
于是由上表知，对一切x?(0，?∞)，恒有F(x)?xf?(x)?0． 从而当x?0时，恒有f?(x)?0，故f(x)在(0，?∞)内单调增加．
所以当x?1时，f(x)?f(1)?0，即x?1?ln2x?2alnx?0．(利用单调性证明不等式）
故当x?1时，恒有x?ln2x?2alnx?1．
（全国卷22）（本小题满分14分）已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,
(i)求函数f(x)的最大值；(ii)设0 a?b2)<(b-a)ln2. ．(I)解：函数f(x)的定义域是(-1,∞),f'(x)?11?x?1，令f'(x)?0，解得x=0，当-1 3 导数习题分类精选 2 2ab?ab?a??ln(1?)??， a?b2a2a2ba?ba?bln??ln(1?)?? a?b2b2b2a2bb?aa?b?bln????0 所以alna?ba?b222aa?b2a2ba?b2b2b??bln?aln?bln?(b?a)ln?(b?a)ln2 又 alna?b2ba?ba?b2ba?ba?ba?b)?(b?a)ln2 综上0?g(a)?g(b)?2g(2a?x')， (II)证法二：g(x)?xlnx，g(x)?lnx?1，设F(x)?g(a)?g(x)?2g(2a?x'a?x''')]?lnx?ln则F(x)?g(x)?2[g(，当0 （2009全国卷Ⅱ理）(本小题满分12分)设函数（I）求a的取值范围，并讨论 f?x??x2?aIn?1?x?有两个极值点x1、x2，且x1?x2 1?2In2 4（II）证明：f?x2??f?x?的单调性； 解: （I） a2x2?2x?af??x??2x??(x??1) 1?x1?x2 令g(x)?2x?2x?a，其对称轴为x??1。由题意知x1、x2是方程g(x)?0的两个均大于?1的不相等的实根，其2???4?8a?01充要条件为?，得0?a? 2?g(?1)?a?0⑴当x?(?1,x1)时，⑵当x?(x1,x2)时，⑶当x?(x2,f??x??0,?f(x)在(?1,x1)内为增函数； f??x??0,?f(x)在(x1,x2)内为减函数； ??)时，f??x??0,?f(x)在(x2,??)内为增函数； 1?a?0,???x2?0，a??(2x22+2x2) 24 （II）由（I）g(0)