发布时间 : 星期一 文章初等变换与等价矩阵更新完毕开始阅读8e3e4f225901020207409cf8
第六讲 初等变换与初等矩阵
一、考试内容与考试要求
考试内容
矩阵的初等变换；初等矩阵；矩阵的等价． 考试要求
（1）掌握矩阵的初等变换及用途；
（2）了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念．
二、知识要点
引入 由于初等行变换具有不改变线性方程组的解、初等变换不改变矩阵秩等特点，
初等变换在线性代数课程的学习中占有重要的作用，它的应用贯穿了全课程的内容，这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练．本讲通过对初等变换这个知识点的用途进行总结，学习相关内容．
1．初等变换与初等矩阵
线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法：用同解变换把方程组化为阶梯形方程组．线性方程组的同解变换有三种：① 交换两个方程的上下位置．② 用一个非0的常数乘某个方程．③ 把某个方程的倍数加到另一个方程上． 以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换．
（1）初等变换
矩阵有以下三种初等行变换： ① 交换两行的位置；
② 用一个非0的常数乘某一行的各元素；
③ 把某一行的倍数加到另一行上．(称这类变换为倍加变换) ．
类似地，矩阵还有相应的三种初等列变换，初等行变换与初等列变换统称初等变换． 每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵（行最简形）． 一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是惟一的，但是其非零行数和台角位置是确定的．一个矩阵用初等行变换化得的行最简形是惟一的．行最简形矩阵应用最多，它的特点是：非零行的第一个非零元素为1，且这些非零元所在的列的其他元素都是0．
注 ?：表示初等变换：?：表示初等行变换；?：表示初等列变换；?：将第i行与第j行进行对换，?将第i行各个元素的k倍加到第j行相应元素上；等等．
（2）矩阵的等价
矩阵之间的关系有三种情形：等价、相似与合同．其中相似与合同分别在第十四讲和第
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十五讲中学习，这里首先学习矩阵的等价．
定义：矩阵A经有限次初等变换得矩阵B，则称矩阵A与B等价，记为A?B． A?B的充分必要条件是下列任一条件：
① 存在可逆矩阵P和Q，使PAQ?B； ② A与B有相同的秩．其中A、B为同型矩阵； ③ A与B有相同的等价标准形；
④ 存在初等矩阵P1,?Ps?1,Ps,Q1,Q2,?,Qt,，使PPss?1?PAQQ112?Qt?B； 矩阵A经有限次初等行变换得矩阵B，则称矩阵A与B行等价，记为A?B； 矩阵A经有限次初等列变换得矩阵B，则称矩阵A与B列等价，记为A?B． 等价的性质 ① 反身性：A?A
② 对称性：若A?B，则B?A
③ 传递性：若A?B，B?C，则A?C 由上面可得矩阵A可逆的充分必要条件 ① A?E；
② 是它可表示成有限个初等矩阵的乘积； ③ 存在可逆矩阵P,Q，使PAQ?E. （3） 初等矩阵
对单位矩阵实施一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵．初等矩阵有三种：
① 交换E的i,j行（或列）得到的初等矩阵，记为E(i,j)或Eij；
② E的i行（或列）乘以不为零的数k得到的初等矩阵，记为E(i(k))或Ei(k)； ③ E的第i行（或列）乘以数k加到第j行（或列）上得到的初等矩阵，记为
crE(i,j?i(k))或Eij(k)．
（4） 初等矩阵的性质 利用行列式的性质，很明显有
① Eij??1 ② Ei(k)?k（k?0） ③ Eij(k)?1 由于初等矩阵的行列式不为零，故初等矩阵是可逆的，其逆为： ④ Eij
?11?Eij ⑤ Ei?1(k)?Ei?1()（k?0） ⑥ Eij?1(k)?Eij(?k)
k2
证明 ⑥
?1????????1???Eij(k)?Eij(?k)=?????k1??????1????1????????i行1?? ?????j行?k1??????1????1????????i行1??=?=E ????j行k?(?k)1??????1???TT⑦ Eij?Eij ⑧ EiT(k)?Ei(k)（k?0） ⑨ Eij(k)?Eji(k) *⑩ Eij*??Eij ② Ei(k)?k?Ei()（k?0） ③ Eij*(k)?Eij(?k) *?1证明 ⑩Eij?EijEij??Eij，其它类似可证明．
1k这些公式在解题时可直接用结论，不用计算．这样可简化运算，如利用Eij?1?1?Eij有：
?100??100??001???001? ?????010??010?????每一种初等变换都对应一种初等矩阵．对A进行一次初等变换行（列）变换，相当于
左（右）乘一个同类型的初等矩阵．
2．初等变换的用途
以初等变换的用途为例探讨这种角度的学习．这里总结了初等变换这个知识点的九种用途．
（1）求解线性方程组Ax?b或Ax?o的解，即： (A,b)?行最简形
（2）求矩阵的逆，即：
r?A?c?E? (A,E)?(E,A) 或 ?????1?
?E??A?r?1 3
（3）求矩阵方程AX?B的解，当A可逆时，有： (A,B)?(E,AB)?(E,X)
（4）求矩阵的秩，即：
r?1?Er A??c?OrO?? O?或化成行（或列）阶梯形，其中非零行（或列）的个数为秩．
（5）求向量组A的最大线性无关组，即： A?行最简形
从行最简形得出向量组A的最大线性无关组． （6）判断向量组的线性相关与线性无关性
由Ax?o的解是非零解或惟一零解来判断向量组的线性相关与线性无关性：
r?线性无关:Ax=o有唯一零解 n维向量组?1,?2,?,?m?
线性相关:Ax=o有非零解?或由向量组的秩，来判断向量组的线性相关与线性无关性：
若R(?1,?2,?,?m)?m，向量组线性相关；若R(?1,?2,?,?m)?m，向量组线性相关．
（7）判断向量?是否可由向量组?1,?2,?,?m线性表示，即：
记A=(?1,?2,?,?m)，需判断Ax??是否有解，即R(A)?R(A,?)是否成立．
（8）判断向量组?1,?2,?,?s与?1,?2,?,?t的等价，即：
R(B) 记A=(?1,?2,?,?s)，B?(?1,?2,??t)，则R(A)?R(A,B)?等价．
（9）若A行等价于B，即A?B，则PA?B，可求出P：
r时两个向量组
(A,E)?(B,P)
r?A?c?B?或 A?B，则AP?B，可由?????求出P。
?E??P?c（10）求矩阵A特征向量
获得矩阵A的特征值后，用初等变换求解齐次方程(?E?A)x?o，得到特征向量．
三、基础训练
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