发布时间 : 星期三 文章2012年福建省高三质检文科数学试卷及答案更新完毕开始阅读8e70ecddce2f0066f533227d
2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》．其中规定：居民区的PM2．5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2．5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米． 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天PM2．5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：
组别 第一组 第二组 第三组 第四组 PM2．5浓度 （微克/立方米） (0,25] (25,50] (50,75] (75,100) 5 10 3 2 0．25 0．5 0．15 0．1 频数（天） 频率 (Ⅰ)从样本中PM2．5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2．5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；
（Ⅱ）求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2．5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由．
21． (本小题满分12分)
平面内动点P到点F(1,0)的距离等于它到直线x??1的距离，记点P的轨迹为曲线?． （Ⅰ）求曲线?的方程；
????????????（Ⅱ）若点A，B，C是?上的不同三点，且满足FA?FB?FC?0．证明： ?ABC不可能为直角
三角形．
22． (本小题满分14分)
已知函数f(x)?x?alnx的图象在点P(1,f(1))处的切线斜率为10． （Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）判断方程f(x)?2x根的个数，证明你的结论；
（Ⅲ）探究：是否存在这样的点A(t,f(t))，使得曲线y?f(x)在该点附近的左、右的两部分分别位于
曲线在该点处切线的两侧？若存在，求出点A的坐标；若不存在，说明理由．
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2012年福建省普通高中毕业班质量检查 文科数学试题参考解答及评分标准
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法
与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，
可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． 1． B 2．B 3．C 4．B 5．D 6．B 7． D 8．A 9．D 10．C 11．C 12．B
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分． 13．1 ；14．
5； 15．2； 16．①． 3 三、解答题：本大题共6小题，共74分i解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17． 本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．满分12分．
(Ⅰ)解：由已知得a3?a1?4,a4?a1?6，???????????2分
2又a1,a3,a4成等比数列，所以(a1?4)?a1(a1?6)，?????????4分
解得a1?8， ???????????5分 所以an?10?2n． ???????????6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得bn?2n(12?an)?1n(n?1)?1n?1n?1，???????????8分
所以Sn?b1?b2?????bn
?(1?12)?(12?13)?????(1n?1n?1)?1?1n?1?nn?1． ?????12分
18．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、棱锥体积公式等基础知识，考查空间想象能力、
推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想．满分12分． 解：（Ⅰ）∵平面A?BD?平面BCD，平面A?BD?平面BCD?BD，CD?BD ∴CD?平面A?BD， ???????????2分 又∵AB?平面A?BD，∴CD?A?B． ???????????4分 （Ⅱ）如图（1）在Rt?ABD中，BD??AD?BC，??ADB?DBC?30?. DC?BDtan30??在Rt?BDC中，23． 3AB?AD?2.
22231∴S?BDC?BD?DC?. ???????????6分
23
如图（2），在Rt?A?BD中，过点A?做A?E?BD于E，∴A?E?平面BCD．
?A?E?3A?B?A?D?， ???????????7分
BD233323311123??. ???????????8分 ∴VA??BDC??S?BDC?A?E??（Ⅲ）在线段BC上存在点N，使得A?N?BD，理由如下： 如图（2）在Rt?A?EB中，BE?∴
A?B?A?E22?1， 2BE1?， ???????????????9分 BD4BNBE1??， 过点E做EN//DC交BC于点N，则BCBD4∵CD?BD,?EN?BD， ???????????10分 又A?E?BD，A?E?EN?E，?BD?平面A?EN， 又A?N?平面A?EN，∴A?N?BD．
∴在线段BC上存在点N，使得A?N?BD，此时
19．本小题主要考查两角和与差三角函数公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．
解法一：(Ⅰ)因为cos(???)?cos?cos??sin?sin?， ① cos?(???)co?sc?o?sBN1?．???????12分 BC4?sin，? ②?????????2分
①-② 得cos(???)?cos(???)??2sin?sin?. ③?????3分 令????A,????B有??代入③得cosA?cosB??2sinA?B2A?B2,??sinA?B22，
A?B. ???????6分
(Ⅱ)由二倍角公式,cos2A?cos2B?2sin2C可化为
1?2si2nA??12sBin?228分 2Cs,???????????in 即sin2A?sin2C?sin2B.?????????????????9分
设?ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，
由正弦定理可得a2?c2?b2.????????????????11分 根据勾股定理的逆定理知?ABC为直角三角形.??????????12分 解法二：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式, cos2A?cos2B?2sin2C可化为
nA?B? ?2si?s?inA?B??2siCn，?????????8分
2 因为A,B,C为?ABC的内角，所以A?B?C??，
所以?sin?A?B?sin?A?B??sin2?A?B?.
又因为0?A?B??，所以sin?A?B??0, 所以sin?A?B??sin?A?B??0.
从而2sinAcosB?0.?????????????????10分 又因为sinA?0,所以cosB?0，即?B??2.
所以?ABC为直角三角形. ?????????????????12分
20．本小题主要考查频率分布表、古典概型、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12分．
解：(Ⅰ) 设PM2.5的24小时平均浓度在(50,75]内的三天记为A1,A2,A3，PM2.5的24小时平均浓度在
(75,100)内的两天记为B1,B2．
所以5天任取2天的情况有：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共10种． ????????4分