发布时间 : 星期四 文章2010年高考数学计算试题分类汇编 - 函数 - 图文更新完毕开始阅读8e828cc58bd63186bcebbc4d
（2010江苏卷）20、（本小题满分16分）
设f(x)是定义在区间(1,??)上的函数，其导函数为f'(x)。如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的x?(1,??)都有h(x)>0，使得f'(x)?h(x)(x2?ax?1)，则称函数f(x)具有性质P(a)。 (1)设函数f(x)?lnx?b?2x?1(x?1)，其中b为实数。
(i)求证：函数f(x)具有性质P(b)； (ii)求函数f(x)的单调区间。 (2)已知函数g(x)具有性质P(2)。给定x1,x2?(1,??),x1?x2,设m为实数，
??mx1?(1?m)x2，??(1?m)x1?mx2，且??1,??1，
若|g(?)?g(?)|<|g(x1)?g(x2)|，求m的取值范围。
[解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。 （1）(i)f'(x)?1x?b?2(x?1)1x(x?1)22?1x(x?1)2(x?bx?1)
2∵x?1时，h(x)??0恒成立，
∴函数f(x)具有性质P(b)；[来源:学科网ZXXK] (ii)（方法一）设?(x)?x?bx?1?(x?)?1?22b2b24，?(x)与f'(x)的符号相同。
当1?b24?0,?2?b?2时，?(x)?0，f'(x)?0，故此时f(x)在区间(1,??)上递增；
当b??2时，对于x?1，有f'(x)?0，所以此时f(x)在区间(1,??)上递增； 当b??2时，?(x)图像开口向上，对称轴x?b2??1，而?(0)?1，
对于x?1，总有?(x)?0，f'(x)?0，故此时f(x)在区间(1,??)上递增； （方法二）当b?2时，对于x?1，?(x)?x2?bx?1?x2?2x?1?(x?1)2?0 所以f'(x)?0，故此时f(x)在区间(1,??)上递增； 当b?2时，?(x)图像开口向上，对称轴x?b?b?4b?,2b?22b22?1，方程?(x)?0的两根为：
b?422，而
b?b?422?1,b?b?42?b?2b?42?(0,1)
当x?(1,b?42)时，?(x)?0，f'(x)?0，故此时f(x)在区间(1,b?b?422)
上递减；同理得：f(x)在区间[b?b?422,??)上递增。
综上所述，当b?2时，f(x)在区间(1,??)上递增； 当b?2时，f(x)在(1,b?b?4222b?)上递减；f(x)在[2b?422,??)上递增。
(2)（方法一）由题意，得：g'(x)?h(x)(x?2x?1)?h(x)(x?1) 又h(x)对任意的x?(1,??)都有h(x)>0，
所以对任意的x?(1,??)都有g?(x)?0，g(x)在(1,??)上递增。 又????x1?x2,????(2m?1)(x1?x2)。 当m?12,m?1时，???，且??x1?(m?1)x1?(1?m)x2,??x2?(1?m)x1?(m?1)x2，
综合以上讨论，得：所求m的取值范围是（0，1）。
（方法二）由题设知，g(x)的导函数g'(x)?h(x)(x2?2x?1)，其中函数h(x)?0对于任意的x?(1,??)都成立。所以，当x?1时，g'(x)?h(x)(x?1)2?0，从而g(x)在区间(1,??)上单调递增。
①当m?(0,1)时，有??mx1?(1?m)x2?mx1?(1?m)x1?x1，
??mx1?(1?m)x2?mx2?(1?m)x2?x2，得??(x1,x2)，同理可得??(x1,x2)，所以由
g(x)的单调性知g(?)、g(?)?(g(x1),g(x2))，
从而有|g(?)?g(?)|<|g(x1)?g(x2)|，符合题设。 ②当m?0时，??mx1?(1?m)x2?mx2?(1?m)x2?x2，
??(1?m)x1?mx2?(1?m)x1?mx1?x1，于是由??1,??1及g(x)的单调性知
g(?)?g(x1)?g(x2)?g(?)，所以|g(?)?g(?)|≥|g(x1)?g(x2)|，与题设不符。
③当m?1时，同理可得??x1,??x2，进而得|g(?)?g(?)|≥|g(x1)?g(x2)|，与题设不符。
因此综合①、②、③得所求的m的取值范围是（0，1）。