发布时间 : 星期六 文章浙江省宁波市2019届高三上学期期末考试数学试题附答案解析更新完毕开始阅读8e8af28215791711cc7931b765ce05087732757d
∵即
与共线，∴存在实数，使
，
（），
∴，解得，，
∴；
∵，
∵，∴，当且仅当时取等号，此时有最小值，
则有M，N分别为AB，AC的中点，取得最小值，故答案为4，．
【点睛】本题考查了向量三角形法则、平面向量基本定理、三角形法则、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 15.设等差数列【答案】-1 【解析】 【分析】 由已知可求出公差由此推导出，【详解】等差数列∴∴∵∵∴故答案为
均为正整数，
，逐一代入，得．
，
，∴
，
，
，由
，解得
.
， ，从而
，从而能求出公差．
的前14项和
，
，
，由，均为正整数，
，得
，
的前14项和
，已知
均为正整数，则公差
____.
【点睛】本题主要考查等差数列的公差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
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16.农历戊戌年即将结束，为了迎接新年，小康、小梁、小谭、小刘、小林每人写了一张心愿卡，设计了一个与此心愿卡对应的漂流瓶.现每人随机的选择一个漂流瓶将心愿卡放入，则事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”的概率为___ 【答案】【解析】 【分析】 基本事件总数
，事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”包含的基本事件个数
，
由此能求出事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”的概率．
【详解】为了迎接新年，小康、小梁、小谭、小刘、小林每人写了一张心愿卡， 设计了一个与此心愿卡对应的漂流瓶．
现每人随机的选择一个漂流瓶将心愿卡放入，基本事件总数事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”包含的基本事件个数∴事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”的概率为故答案为
．
， ，
，
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 17.已知不等式【答案】【解析】 【分析】
首先利用转换思想把分式不等式转换为整式不等式，进一步利用赋值法和集合法求出实数的范围． 【详解】由记则
或
当
时，
或.
或
；. . ；
或
或；
；
，得：
，
对任意正整数均成立，则实数的取值范围___
所求范围为
【点睛】本题考查的知识要点：分式不等式的解法及应用，数列的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．
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三、解答题。 18.如图所示，已知
是半径为1，圆心角为的扇形，是坐标原点，
是扇形的内接矩形.
落在轴非负半轴上，点在第一
象限，是扇形弧上的一点，
（1）当是扇形弧上的四等分点（靠近）时，求点的纵坐标； （2）当在扇形弧上运动时，求矩形【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）直接利用四等分点的条件求出
，进一步求出结果；（2）设
，将面积表示为关于的三
（2）
面积的最大值.
角函数，利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果． 【详解】（1）根据题意：当是扇形弧上的四等分点（靠近）时，所以的纵坐标为（2）设则
， .
，当且仅当
取得最大值. ；
，矩形的面积设为，
.
，
【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 19.如图所示，四面体
.
中，
是正三角形，
是直角三角形，是
的中点，且
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（1）求证：（2）过值.
平面； 于点，若平面
把四面体
分成体积相等的两部分，求二面角
的余弦
的平面交
【答案】（1）见证明；（2）【解析】 【分析】
（1）首先利用三角形全等得到面
；（2）以为坐标原点，
，推导出为轴正方向，的余弦值．
，利用勾股定理得到为轴正方向，
，由此能证明平
为轴正方向，建立空间直角坐标系，
利用向量法能求出二面角【详解】（1）如图所示，
因为由即
为等边三角形，所以
，得
为等腰直角三角形，从而
中点，所以
.
， ，所以为直角，
，
又为底边令所以又所以
，则
，从而为平面平面
.
，易得，
，
内两相交直线，
（2）由题意可知，即到平面的距离相等，
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