发布时间 : 星期三 文章[数学]2010年高考数学计算试题分类汇编 - 立体几何 DOC - 图文更新完毕开始阅读8ebb71d2b14e852458fb576a
（2010山东文数）（20）（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形， MA?平面ABCD，PD//MA，E、G、F分别为（I）求证：平面EFG?平面PDC；
（II）求三棱锥P?MAB与四棱锥P?ABCD的体积 之比.
MB、PB、PC的中点，且AD?PD?2MA.
欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：zxjkw@163.com
第 17 页 共 42 页
（2010北京文数）（17）（本小题共13分） 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。
EF//AC，AB=2,CE=EF=1 （Ⅰ）求证：AF//平面BDE； （Ⅱ）求证：CF⊥平面BDF;
证明：（Ⅰ）设AC于BD交于点G。因为EF∥AG,且EF=1，AG=
12AG=1
所以四边形AGEF为平行四边形 所以AF∥EG
因为EG?平面BDE,AF?平面BDE, 所以AF∥平面BDE
（Ⅱ）连接FG。因为EF∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以平行四边形CEFG为菱形。所以CF⊥EG.
因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF
∩平面ABCD=AC,所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.
（2010北京理数）（16）（本小题共14分）
如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=2，CE=EF=1. （Ⅰ）求证：AF∥平面BDE； （Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE； （Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。
证明：（I） 设AC与BD交与点G。 因为EF//AG，且EF=1，AG=
12AC=1.
所以四边形AGEF为平行四边形.
所以AF//平面EG，
因为EG?平面BDE，AF?平面BDE， 所以AF//平面BDE.
（II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面
欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：zxjkw@163.com
第 18 页 共 42 页
相互垂直，且CE?AC，
所以CE?平面ABCD.
如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz. 则C（0，0，0），A（2，2，0），B（0，2，0）.
????2222???? 所以CF?(????DE?(?2,0,1).
,,1)，BE?(0,?2,1)，
所?C??0?????????,CF?DE??1?0?1?F0
?以
?B? 所以CF?BE,CF?DE. 所以CF?BDE.
????(III) 由（II）知，CF?(22,22,1)是平面BDE的一个法向量.
???????? 设平面ABE的法向量n?(x,y,z),则n?BA?0，n?BE?0. ?(x,y,z)?(2,0,0)?0 即?
(x,y,z)?(0,?2,1)?0?所以x?0,且z? 令y?1,则z?2y,
2. 所以n?(0,1,2). ???? 从而cos?n,CF??????n?CF3?????。
2|n||CF| 因为二面角A?BE?D为锐角， ? 所以二面角A?BE?D的大小为.
6
（2010四川理数）（18）（本小题满分12分）
D?已知正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，点M是棱AA'的中点，点O是对角线BD'的中C?点. A?（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA'和BD'的公垂线； （Ⅱ）求二面角M－BC'－B'的大小； （Ⅲ）求三棱锥M－OBC的体积.
B?M?A?ODBC欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：zxjkw@163.com
第 19 页 共 42 页
本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。 解法一：（1）连结AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连结OK 因为M是棱AA’的中点，点O是BD’的中点 所以AM//12DD'//OK
所以MO//AK
由AA’⊥AK，得MO⊥AA’
因为AK⊥BD,AK⊥BB’，所以AK⊥平面BDD’B’ 所以AK⊥BD’
所以MO⊥BD’
又因为OM是异面直线AA’和BD’都相交
故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线
（2）取BB’中点N，连结MN，则MN⊥平面BCC’B’ 过点N作NH⊥BC’于H，连结MH 则由三垂线定理得BC’⊥MH
从而,∠MHN为二面角M-BC’-B’的平面角 MN=1,NH=Bnsin45°=?2122?24
在Rt△MNH中，tan∠MHN=
MNNH?124?22 故二面角M-BC’-B’的大小为arctan22 (3)易知，S△OBC=S△OA’D’，且△OBC和△OA’D’都在平面BCD’A’内 点O到平面MA’D’距离h＝
112
124VM-OBC=VM-OA’D’=VO-MA’D’=S△MA’D’h=
3
解法二：
以点D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D-xyz
则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A’(1,0,1),C’(0,1,1),D’(0,0,1) (1)因为点M是棱AA’的中点,点O是BD’的中点 所以M(1,0,
12222??????????????11OM?(,?,0),AA'=(0,0,1),BD'=(-1,-1,1)
22???????????????????11OM?AA'=0, OM?BD'???+0=0
22111),O(,,)
所以OM⊥AA’,OM⊥BD’
欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：zxjkw@163.com
第 20 页 共 42 页