发布时间 : 星期日 文章2011年高考高中新课标数学基础知识归纳更新完毕开始阅读8ed039a30029bd64783e2c06
你只要用心做，这些事根本难不倒你！
2011年高考高中新课标数学基础知识归纳
第一部分 集合
1．理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是．．．．．函数值的取值？还是曲线上的点？? ； 2．数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图．．．．等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决； 3．主要性质和运算律
（1） 包含关系：
A?A,??A,A?U,CUA?U,
A?B,B?C?A?C;A?B?A,A?B?B;A?B?A,A?B?B.（2） 等价关系：A?B?A?B?A?A?B?B?（3） 集合的运算律：
A?B?B?A;A?B?B?A.
(A?B)?C?A?(B?C);(A?B)?C?A?(B?C) A?(B?C)?(A?B)?(A?C);A?(B?C)?(A?B)?(A?C)
??A??,??A?A,U?A?A,U?A?UA?A?A,A?A?A.A∩?UA=φ
CUA?B?U
A∪?UA=U ?UU=φ ?Uφ=U ?UU(?UA)=A ?U(A∩B)= (?UA)∪(?UB) ?U(A∪B)= (?UA)∩(?UB)
(4) 元素与集合的关系：x?A?x?CUA,x?CUA?x?A.
注意：讨论的时候不要遗忘了A??的情况.
(5) 集合{a1,a2,?,an}的子集个数共有2n 个；真子集有2n–1个； 非空子集有2n –1个；非空真子集有2n–2个. 4．?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 5.集合个数问题（容斥原理）：
card(A?B)?cardA?cardB?card(A?B)card(A?B?C)?cardA?cardB?cardC?card(A?B)?card(A?B)?card(B?C)?card(C?A)?card(A?B?C)
例1.（2009陕西卷）某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有 人。 答案：8.
解析:由条件知,每名同学至多参加两个小组,故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学课外探究小组, 设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A,B,C,则card(A?B?C)?0.
card(A?B)?6,card(B?C)?4,
由公式card(A?B?C)?card(A)?card(B)?card(C)?card(A?B)?card(A?C)?card(B?C)
易知36=26+15+13-6-4- card(A?C)故card(A?C)=8 即同时参加数学和化学小组的有8人.
n6.从集合A??a1,a2,a3,???,an?到集合B??b1,b2,b3,???,bm?的映射有m个.
第二部分 函数与导数
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你只要用心做，这些事根本难不倒你！
1．(1)映射是“‘全部射出’加‘一箭一雕’”；映射中第一个集合A中的元素必有像，但第二个集合B中的元素不一定有原像（A中元素的像有且仅有下一个，但B中元素的原像可能没有，也可任意个）；函数是“非空数集上的映射”，其中“值域是映射中像集B的子集”.
(2)函数图像与x轴垂线至多一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可任意个. (3)函数图像一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像. 2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ； ⑤换元法 ；⑥利用均值不等式
ab?a?b2?a?b222； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距
离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（ax、sinx、cosx等）；⑨导数法 3．复合函数的有关问题
（1）复合函数定义域求法：① 若f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。
例题：已知函数f(x)的定义域为??1,2?，分别求函数f()和f[log(3?x)]的定义域。
x121 解：由?1?1x?2，得x??1或x?12， ?f()的定义域为x111???,?1????1?,??? ?2? 由?1?log(3?x)?2得1?x?12，?f[log(3?x)]的定义域为?1，? 4?4?（2）复合函数单调性的判定：①首先将原函数y?f[g(x)]分解为基本函数：内函数
12?11?u?g(x)与外函数y?f(u)；②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；③根据“同性
则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。
2例题：设a>0且a?1，试求函数y?loga(4?3x?x)的单调区间。 2解：函数y?loga(4?3x?x)的定义域为?1?x?4，
令u?4?3x?x??(x?∴u在(?1,32232)?2254
]上是增函数，在[32,4)上是减函数
32] 上是减函
2当0 22当a>1时，函数y是u的增函数，故函数y?loga(4?3x?x)在(?1,332] 上是增函数， 在[,4)上是减函数 23注意：外函数y?f(u)的定义域是内函数u?g(x)的值域。 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 高中新课标数学基础知识 第 2 页 你只要用心做，这些事根本难不倒你！ ?1,x?0?1?x（2009北京理）若函数f(x)?? 则不等式|f(x)|?的解集为____________. 3?(1)x,x?0??3【答案】??3,1? 【解析】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查. ?x?0? （1）由|f(x)|???11??3?x?0. 3?x?3?1?x?0?x?0?1?xx （2）由|f(x)|????1?1???1?1?0?x?1. 3??3??3????3??3????1 ∴不等式|f(x)|?的解集为?x|?3?x?1?，∴应填??3,1?. 35．函数的奇偶性⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件； ．．．． ⑵f(x)是奇函数?f(?x)??f(x)?f(?x)?f(x)?0?f(?x)f(x)??1； ⑶f(x)是偶函数?f(?x)?f(x)?f(?x)?f(x)?0?f(?x)?1 ； f(x)⑷奇函数f(x)在原点有定义，则f(0)?0； ⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； ⑹若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； ⑺．奇偶函数的图象特征： 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数． ⑻可导函数f(x)，如果f(x)为奇函数，那么它的导函数是偶函数，如果f(x)为偶函数，那么它的导函数是奇函数。 6．函数的单调性 ⑴单调性的定义：f(x)在区间M上是增（减）函数??x1,x2?M,当x1?x2时 f(x1)?f(x2)?0(?0)?(x1?x2)[f(x1)?f(x2)]?0(?0)?f(x1)?f(x2)?0(?0)； x1?x2例题：(2009陕西卷理)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1,x2?(??,0](x1?x2)，有 (x2?x1)(f(x2)?f(x1))?0.则当n?N时,有 *(A)f(?n)?f(n?1)?f(n?1) (B) f(n?1)?f(?n)?f(n?1) (C) (C)f(n?1)?f(?n)?f(n?1) (D) f(n?1)?f(n?1)?f(?n) 答案：C 解析：x1,x2?(??,0](x1?x2)?(x2?x1)(f(x2)?f(x1))?0?x2?x1时，f(x2)?f(x1)?f(x)在(??,0]为增函数f(x)为偶函数?f(x)在(0，??]为减函数而n+1>n>n-1>0,?f(n?1)?f(n)?f(n?1)?f(n?1)?f(?n)?f(n?1)高中新课标数学基础知识 第 3 页 你只要用心做，这些事根本难不倒你！ ⑵单调性的判定定义法：注意：一般要将式子f(x1)?f(x2)化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号； ②导数法（见导数部分）； 注：证明单调性主要用定义法和导数法。 设函数y?f(x)在某个区间内可导，如果f?(x)?0，则f(x)为增函数；如果f?(x)?0， 则f(x)为减函数. ③复合函数法 ;④图像法。 7．函数的周期性 (1)周期性的定义：对定义域内的任意x，若有f(x?T)?f(x) （其中T为非零常数），则称函数f(x)为周期函数，T为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。 （2）三角函数的周期 ①y?sinx:T?2? ；②y?cosx:T?2? ；③y?tanx:T??；④； |?||?|⑶函数周期的判定：①定义法（试值） ②图像法 ③公式法（利用（2）中结论） ⑷与周期有关的结论： ①f(x?a)?f(x?a)或f(x?2a)?f(x)(a?0) ?f(x)的周期为2a； y?Asin(?x??),y?Acos(?x??):T?2? ；⑤y?tan?x:T??②y?f(x)的图象关于点(a,0),(b,0)中心对称?f(x)周期2a?b； ③y?f(x)的图象关于直线x?a,x?b轴对称?f(x)周期为2a?b； ④y?f(x)的图象关于点(a,0)中心对称，直线x?b轴对称?f(x)周期4a?b； ⑤如果f(x?a)??f(x)，或f(x?a)?则f(x)的周期T=2a； 8．基本初等函数的图像与性质 ?⑴幂函数：y?x （??R) ； 高中新课标数学基础知识 第 4 页 1f(x)(f(x)?0)，或f(x?a)??1f(x)(f(x)?0),