发布时间 : 星期一 文章(整理)多元函数微积分练习题更新完毕开始阅读8ee2936732d4b14e852458fb770bf78a64293a4e
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练习题
一 多元函数微分学部分练习题
1 求函数z?1x?y?21x?y2的定义域.
2已知f(x?y,xy)?x?y?5xy，求f(x,y). 3计算下列极限 （1）
ey)(x,ylimln(x?)?(1,0)x2 ?y2 （3）
3xy(x,ylim)?(0,0)xy?4?2 2xy?x2y2（5）(x,ylim )?(2,1)x2?y24 证明极限
x?y(x,ylim)?(0,0)x?y不存在.
5 指出函数f(x,y)?x?yx?2y2的间断点.
6计算下列函数的偏导数 （1）z?ln(x2y) （3）z?x2f(x,y) （5）z?x4?y4?3xy?2y （7）z?e2x?ycos(3x2y) （9）u?1x2?y2?z2 7 计算下列函数的二阶偏导数
（1）z?x4?3xy?y2 （3）z?exysiny （5）z?f(xy,x2) -------------
（2） limx2?y2
(x,y)?(?,?)x4?y41（4）
(x,ylim)?(0,1)(1?xy)x
sin2(x2（6）(x,ylim?y2))?(0,0)x2?y2 （2）z?(1?xy)x
（4）z?x?(xy) （6）z?ln(x2?y2)
（8）z?(1?xy)y
（10）z??x2y20sintdt
（2）z?yln(xy) （4）z?x2f(x,y)
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8求下列函数的全微分
xy （1）z?xe （2）z?1
x2?y2 （3）z?arcsinxy （4）z?xy?yf(x,y) 9 设f(x,y)??2xy1sint2dt，求df.
210 （1）z?uv?uv，其中u?xcosy，v?ysinx,求
?z?z， ?x?y?z?z， ?x?y （2）u?f(x,y,z)?arctan(x?y?z)，其中z?cos(xy),求
（3）z?eu?v， u?sint，v?t,
222dz dt （4）z?f(,x?y),求
xy?z?z， ?x?y?z?z，； ?x?y （5）设z?f(2x?y)?g(x,xy)，求
11 （1）设x?2xy?ln(x?y)?0，求 （2）设e?xyz，求
z2dy. dx?z?z,. ?x?y （3）已知??x?y?z?0dxdy，求，. 22dzdz?x?y?z?1t?x??1?t?1?t?12 求曲线?y? 在点t?1的切线及法平面方程.
t?2?z?t???x2?y2?z2?613求曲线?在点M0(1,?2,1)处的切线与法平面方程.
?x?y?z?014求曲面e?z?xy?3在点M(2,1,0)处的切平面和法线方程. 15求函数z?x?(y?1)的极值.
16求函数u?xyz在条件x?y?z?a(x,y,z,a?0)下的极值. -------------
2322z-------------
2317求函数u?xyz在曲面x?y?z?3xyz?0上点P(1,1,1)处，沿曲面在该点朝上的
222法线方向的方向导数.
18 设f(x,y,z)?x?y?z?xy?x?y?3z，求gradf(1,2,3).
222二 多元函数积分学部分练习题
1、改变下列二次积分的积分次序 （1） （3）
?10dx?2f(x,y)dy （2）?dy?x11y01?1?y2f(x,y)dx
?20dy?yf(x,y)dx??dy?yf(x,y)dx
222y42 2、计算下列二重积分 （1） （2） （3）
??xyd?，其中区域D是曲线y?DD1，x?2及y?x所围成的区域. x2y?4x及y?x所围成的区域. D，其中区域是曲线(x?y)d?????(x?y)d?，其中区域D：x?y?1.
D （4） （5） （6）
??cos(x?y)d?，其中区域D是曲线y?x，y?0及x?D?xe??D2?2所围成的区域.
?y2d?，其中积分区域D为中心在原点，半径为a的圆周所围成的闭区域.
??Dx2?y2d?，其中积分区域为D：x2?y2?1，x2?y2?2x，y?0.
3、设函数f(x,y)连续，且f(x,y)?xy?和x?1所围成的区域.
??Df(x,y)dxdy，其中D是由y?0，y?x2 4、设函数f(u)具有连续导数，且f(0)?0，f?(0)?3，求limt?0x2?y2?t2??f(x2?y2)d??t3.
5 计算下列三重积分 （1）
???sin(x?y?z)dxdydz,其中?是由三个坐标面与平面x?y?z???2所围成的立
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------------- 体；
（2）计算间形体. （3）计算积分
222x?y?z?4在第一卦限的部分. ，其中是球面xyzdxdydz????2222z?x?y,其中是由曲面 以及所围成的空zdxdydzz?2?x?y??????6 试计算立体?由曲面z?8?x?y及z?x?y所围成的体积. 7计算
z222x?y?z?1. ，其中是球面edxdydz?????22228 计算下列曲线积分 （1）（2）（3）
??LxydS，其中L为圆x2?y2?a2在第一象限内的部分；
(x2?y2?z2)dS，其中?是球面x2?y2?z2?9与平面x?y?z?0的交线.
(1?y3)dx?(2x?y)dy，其中L是曲线y3?x2上从点O(0,0)到点A(1,1)的一段
??L弧；
（4）计算段弧.
（5）在过点O(0,0)和A(?,0)的曲线族y?asinx(a?0)中求一条直线L，使沿该曲线到点O到点A的积分
?Lydx?xdy，其中L为圆周x?rcos?，y?rsin?上由??0到??2?的一
?(1?yL3)dx?(2x?y)dy的值最小.
（6）计算 （7）计算部分.
（8）计算分的外侧.
1dS，其中?为球面x2?y2?z2?4被平面z?1截出的上半部分. ??z?222222z?x?y，其中为锥面介于平面z?0与z?1之间的(x?y?z)dS???????ezx2?y2dxdy，其中?是锥面z?x2?y2夹在平面z?1和z?2之间部
（9）计算I?333其中?为以点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)xdydz?ydzdx?zdxdy，???为顶点的三角形的上侧.
x?a，y?at，z?9求曲线?：
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12at（0?t?1，的质量，设其线密度为??a?0）22z. a