发布时间 : 星期六 文章湖南省衡阳市第一中学2020学年高二数学下学期第一次月考试题 文(含解析)更新完毕开始阅读8efb9a87340cba1aa8114431b90d6c85ec3a888c
（2）若平面平面，求三棱锥的体积．
【答案】（1）详见解析；（2）. 【解析】
试题分析：（1）由为的中点可得，在底面菱形中结合已知条件证得，然后由线面垂直的判断得到平面；（2）由可得，根据平面平面结合面面垂直的性质得到，然后根据，即可求解． 试题解析：（1）∵为的中点， ∴，
又∵底面是菱形，， ∴为等边三角形， ∴ 又∵ ∴平面， （2）∵ ∴
又∵平面平面，平面平面， ∴ ∴ ∵平面 ∴平面，又 ∴．
20.如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于两点（点在点的下方），且．
(1)求圆的方程；
(2)过点任作一条直线与椭圆相交于两点，连接，求证：． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析 【解析】
分析：(1)设圆心坐标为，根据.可由勾股定理求出r，求得圆的方程。
(2)讨论当斜率不存在时；当斜率存在时，设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理表示出，表示出，即可判定。
详解：(1)由题可知圆心的坐标为 ∵ ∴圆方程为: (2) 由圆方程可得 ①当斜率不存在时，
②当斜率存在时，设直线方程为:. 设 ∴ ∴ 综上所述
点睛：本题考查了求圆标准方程，直线与椭圆的关系，通过韦达定理解决相交弦问题，也是高考的常考点，属于难点。
21.已知函数，且曲线在点M处的切线与直线平行. （1）求函数的单调区间；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围 【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是；（2）. 【解析】 【分析】
（1）根据切线的斜率可求出,得，求导后解不等式即可求出单调区间. （2）原不等式可化为恒成立，令，求导后可得函数的最小值，即可求解. 【详解】（1）函数的定义域为，， 又曲线在点处的切线与直线平行 所以，即 ，
由且，得，即的单调递减区间是 由得，即的单调递增区间是.
（2）由（1）知不等式恒成立可化为恒成立 即恒成立 令
当时，，在上单调递减. 当时，，在上单调递增.
所以时，函数有最小值 由恒成立
得，即实数的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数求函数的单调区间，最值，恒成立问题，属于中档题.
22.【选修4?4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是． （1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知点．若点的极坐标为，直线经过点且与曲线相交于，两点，求，两点间的距离的值． 【答案】(1)见解析;(2)8. 【解析】 【分析】
（1）参数方程化为普通方程可得直线的普通方程为；极坐标方程化为直角坐标方程可得曲线的直角坐标方程为；
（2）由题意可得直线的参数方程为．联立直线的参数方程与抛物线的直角坐标方程，结合参数的几何意义可得．
【详解】（1）由参数方程可得，消去参数可得直线的普通方程为：，即； 即，
转化为直角坐标方程可得曲线的直角坐标方程为； （2）∵的极坐标为，∴点的直角坐标为． ∴，直线的倾斜角． ∴直线的参数方程为． 代入，得．
设，两点对应的参数为，，则， ∴．
【点睛】本题主要考查参数方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，直线参数方程的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 23.【选修4-5：不等式选讲】 已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围． 【答案】(1). (2). 【解析】
分析：（1）对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；（2）利用绝对值的几何意义求出最小值为，由的解集不是空集，可得. 详解：（1）∵， ∴
当时，不等式可化为，解得，所以； 当，不等式可化为，解得，无解； 当时，不等式可化为，解得，所以 综上所述， （2）因为
且的解集不是空集， 所以，即的取值范围是
点睛：绝对值不等式的常见解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．