发布时间 : 星期三 文章2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标一）及答案更新完毕开始阅读90022db4710abb68a98271fe910ef12d2af9a918
≥ax，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．[﹣2，1]
D．[﹣2，0]
【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围．
【解答】解：由题意可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，
由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x，
求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2， 故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0] 故选：D
12．（5分）（2013?新课标Ⅰ）设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，an+1=an，则（ ） A．{Sn}为递减数列 B．{Sn}为递增数列
C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列
【分析】由an+1=an可知△AnBnCn的边BnCn为定值a1，由bn+1+cn+1﹣
，
，
2a1=及b1+c1=2a1得bn+cn=2a1，则在△AnBnCn中边长BnCn=a1为
定值，另两边AnCn、AnBn的长度之和bn+cn=2a1为定值， 由此可知顶点An在以Bn、Cn为焦点的椭圆上，根据bn+1﹣cn+1=得bn﹣cn=
，
，可知n→+∞时bn→cn，据此可判断△AnBnCn的
边BnCn的高hn随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案． 【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1， ∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1， 又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴由题意，
，
+an，∴bn+1+cn+1﹣2an=（bn+cn﹣2an），
∴bn+cn﹣2an=0，∴bn+cn=2an=2a1，∴bn+cn=2a1， 又由题意，bn+1﹣cn+1=∴bn+1﹣a1=∴∴
[]
=＞0） 故选B．
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．（5分）（2013?新课标Ⅰ）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若?=0，则t= 2 ．
【分析】由于?=0，对式子=t+（1﹣t）两边与作数量积可得
[
﹣
]单调递增（可证当n=1时
][
，∴，∴bn﹣a1=
，cn=2a1﹣bn=
，
， =a1﹣bn，
=0，经过化简即可得出．
【解答】解：∵∴tcos60°+1﹣t=0，∴1故答案为2．
14．（5分）（2013?新课标Ⅰ）若数列{an}的前n项和为Sn=an+，则数列{an}的通项公式是an= （﹣2）n﹣1 ．
【分析】把n=1代入已知式子可得数列的首项，由n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，可得数列为等比数列，且公比为﹣2，代入等比数列的通项公式分段可得答案． 【解答】解：当n=1时，a1=S1=当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（整理可得
，即
，解得a1=1 ）﹣（=﹣2，
）=
，
，
，∴
=0，
=0，解得t=2．
故数列{an}从第二项开始是以﹣2为首项，﹣2为公比的等比数列， 故当n≥2时，an=（﹣2）n﹣1， 经验证当n=1时，上式也适合， 故答案为：（﹣2）n﹣1
15．（5分）（2013?新课标Ⅰ）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ= ﹣
．
，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正
，与sin2θ+cos2θ=1
【分析】f（x）解析式提取
弦函数，由x=θ时，函数（fx）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ=联立即可求出cosθ的值． 【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=cosα=
，sinα=
），
（
sinx﹣
cosx）=
sin（x﹣α）（其中
∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，
∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=又sin2θ+cos2θ=1， 联立得（2cosθ+故答案为：﹣
，
）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣
．
16．（5分）（2013?新课标Ⅰ）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为 16 ．
【分析】由题意得f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，由此求出a=8且b=15，由此可得f（x）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15．利用导数研究f（x）的单调性，可得f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣间（﹣2﹣2+
，﹣2）、（﹣2+
）、（﹣2，﹣2+
）上是增函数，在区
）=f（﹣
，+∞）上是减函数，结合f（﹣2﹣
）=16，即可得到f（x）的最大值．
【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称， ∴f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，
即[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a?（﹣3）+b]=0且[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a?（﹣5）+b]=0， 解之得
，
因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+8x+15）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15， 求导数，得f′（x）=﹣4x3﹣24x2﹣28x+8， 令f′（x）=0，得x1=﹣2﹣当x∈（﹣∞，﹣2﹣＜0；
当x∈（﹣2，﹣2+0
∴f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣﹣
，﹣2）、（﹣2+
）、（﹣2，﹣2+
）上是增函数，在区间（﹣2
）时，f′（x）＞0； 当x∈（﹣2+
，+∞）时，f′（x）＜
，x2=﹣2，x3=﹣2+
，
，﹣2）时，f′（x）
）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2﹣
，+∞）上是减函数．
）=16，
又∵f（﹣2﹣）=f（﹣2+
∴f（x）的最大值为16．