发布时间 : 星期一 文章初中数学数与式提高练习与难题和培优综合题压轴题(含解析)更新完毕开始阅读90265e780408763231126edb6f1aff00bfd57016
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字和个位上的数字，且a≠0），显然=100a+10b+c；我们形如和的两个
三位数称为一对“姊妹数”（其中x、y、z是三个连续的自然数）如：123和321是一对姊妹数，678和876是一对“姊妹数”．
（1）写出任意两对“姊妹数”，并判断2331是否是一对“姊妹数”的和； （2）如果用x表示百位数字，求证：任意一对“姊妹数”的和能被37整除． 【分析】（1）根据“姊妹数”的意义直接写出两对“姊妹数”，根据“姊妹数”的意义设出一个三位数，表示出它的“姊妹数”，求和，用2331建立方程求解，最后判断即可；
（2）表示出这对“姊妹数”，并且求和，写成37×6（x﹣1），判断6（x﹣1）是整数即可．
【解答】解：（1）根据“姊妹数”满足的条件得，
是一对姊妹数； 假设是一对“姊妹数”的和，
设这对“姊妹数”中的一个三位数的十位数字为x，个位数字为（x﹣1），百位数字为（x+1），（x为大于1小于9的整数），
∴这个三位数为100（x+1）+10x+x﹣1=111x+99，
∴另一个三位数的十位数字为x，个位数字为（x+1），百位数字为（x﹣1），则这个三位数为100（x﹣1）+10x+x+1=111x﹣99，
∴这对“姊妹数”的和为（111x+99）+（111x﹣99）=222x=2331， ∴x=10，不符合题意， ∴2331不是一对“姊妹数”的和；
（2）∵x表示一个三位数的百位数字，（x为大于2小于9的整数），
根据“姊妹数”的意义得，这个三位数的十位数字为（x﹣1），个位数字为（x﹣2）， ∴这个三位数为：100x+10（x﹣1）+（x﹣2）=111x﹣12， ∴它的“姊妹数”为：100（x﹣2）+10（x﹣1）+x=111x﹣210，
∴这对“姊妹数”的和为：（111x﹣12）+（111x﹣210）=222x﹣222=222（x﹣1）=37×6（x﹣1），
∵x为大于2小于9的整数， ∴（x﹣1）是整数，
和
是一对姊妹数，
和
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∴6（x﹣1）是整数，
∴37×6（x﹣1）能被37整除，
即：任意一对“姊妹数”的和能被37整除．
【点评】此题是因式分解的应用，主要考查了新定义，解一元一次方程，这出问题，解本题的关键是理解“姊妹数”的意义，并且会用它解决问题．
32．（2017春?崇仁县校级月考）若我们规定三角“”表示为：abc；方框
“
”表示为：（xm+yn）．例如：
=1×19×3÷（24+31）
=3．请根据这个规定解答下列问题：
（1）计算：= ﹣ ；
（2）代数式为完全平方式，则k= ±3 ；
（3）解方程：
=6x2+7．
【分析】（1）根据新定义运算代入数据计算即可求解；
（2）根据新定义运算代入数据计算，再根据完全平方式的定义即可求解； （3）根据新定义运算代入数据得到关于x的方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）
=[2×（﹣3）×1]÷[（﹣1）4+31] =﹣6÷4 =﹣．
故答案为：﹣；
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（2）
=[x2+（3y）2]+xk?2y =x2+9y2+2kxy，
∵代数式∴2k=±6， 解得k=±3． 故答案为：±3；
为完全平方式，
（3）
=6x2+7，
（3x﹣2）（3x+2）]﹣[（x+2）（3x﹣2）+32]=6x2+7， 解得x=﹣4．
【点评】本题考查了完全平方公式的应用，能熟记公式的特点是解此题的关键，注意：完全平方公式为：①（a+b）2=a2+2ab+b2，②（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．
33．（2016?太原二模）阅读与计算：对于任意实数a，b，规定运算@的运算过程为：a@b=a2+ab．根据运算符号的意义，解答下列问题． （1）计算（x﹣1）@（x+1）；
（2）当m@（m+2）=（m+2）@m时，求m的值． 【分析】（1）根据题目中的新运算可以化简题目中的式子；
（2）根据题目中的新运算可以对题目中的式子进行转化，从而可以求得m的值． 【解答】解：（1）∵a@b=a2+ab， ∴（x﹣1）@（x+1） =（x﹣1）2+（x﹣1）（x+1） =x2﹣2x+1+x2﹣1 =2x2﹣2x；
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（2）∵a@b=a2+ab， ∴m@（m+2）=（m+2）@m
即m2+m（m+2）=（m+2）2+（m+2）m， 化简，得 4m+4=0， 解得，m=﹣1， 即m的值是﹣1．
【点评】本题考查整式的混合运算、解一元一次方程、新运算，解题的关键是明确题目中的新运算，利用新运算解答问题．
34．（2005?台州）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：
…①（其中a、b、c为三角形的三边长，s为面
积）．
而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式： s=
…②（其中p=
．）
（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s；
（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试． 【分析】（1）代入计算即可；
（2）需要在括号内都乘以4，括号外再乘，保持等式不变，构成完全平方公式，再进行计算． 【解答】解：（1）s==
p=（5+7+8）=10， 又s=
；
；
，