发布时间 : 星期三 文章辽宁省沈阳市大东区2017-2018学年高三下学期高考模拟数学(文)试卷 Word版含解析更新完毕开始阅读90a6a84402d8ce2f0066f5335a8102d276a26124
∴,
设g(x)=lnx+x+,则=,
当x∈(0,2)时g′(x)<0,函数g(x)单调递减; 当x∈(2,+∞)时g′(x)>0,函数g(x)单调递增; 所以函数g(x)的最小值为g(2)=5+ln2, 从而实数a的取值范围为(﹣∞,5+ln2]; (Ⅱ)当
时,构造函数
,
由题意有G(x)≤0对x∈(1,+∞)恒成立,因为G′(x)=lnx﹣ax+1, 当a≤0时,G′(x)=lnx﹣ax+1>0, 所以G(x)在(1,+∞)上单调递增,
则G(x)>G(0)=0在(0,+∞)上成立,与题意矛盾. 当a≥1时,令φ(x)=G′(x), 则
上单调递减,
所以φ(x)≤φ(1)=1﹣a≤0,所以G(x)在(1,+∞)上单调递减, 所以G(x)≤G(1)=0在(1,+∞)上成立,符合题意. 当0<a<1时,
,所以
上单调递增,
上单调递减,因为φ(1)=1﹣a>0,
所以
成立,即G′(x)>0在(1,)上成立,
所以G(x)>0在(1,)上单调递增,
则G(x)>G(1)=0在x∈(1,)上成立,与题意矛盾.
综上知a的最小值为1.
点评:本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查了利用导数求区间上的最值,训练了分类讨论的思想,属难题.
(请考生从22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分)选修4-1:几何证明选讲
22.如图,AB为⊙O的直径,过点B作⊙O的切线BC,OC交⊙O于点E,AE的延长线交BC于点D.
2
(1)求证:CE=CD?CB;
(2)若AB=BC=2,求CE和CD的长.
考点:与圆有关的比例线段. 专题:选作题;立体几何.
2
分析:(1)要证CE=CD?CB,结合题意,只需证明△CED∽△CBE即可,故连接BE,利用弦切角的知识即可得证;
(2)在Rt三△OBC中,利用勾股定理即可得出CE的长,由(1)知,CE=CD?CB,代入CE即可得出CD的长.
解答: (1)证明:连接BE. ∵BC为⊙O的切线∴∠ABC=90°
∵AB为⊙O的直径∴∠AEB=90° … ∴∠DBE+∠OBE=90°,∠AEO+∠OEB=90°
∵OB=OE,∴∠OBE=∠OEB∴∠DBE=∠AEO … ∵∠AEO=∠CED∴∠CED=∠CBE, ∵∠C=∠C∴△CED∽△CBE, ∴
,∴CE=CD?CB …
2
2
(2)解:∵OB=1,BC=2,∴OC=,∴CE=OC﹣OE=﹣1 …
22
由(1)CE=CD?CB得:(﹣1)=2CD,∴CD=3﹣ …
点评:本题主要考查了切线的性质及其应用,同时考查了相似三角形的判定和解直角三角形等知识点,运用切线的性质来进行计算或论证,常通过作辅助线连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题.
选修4-4:坐标系与参数方程 23.已知:动点P、Q都在曲线C:
(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α
(0<α<2π),M为PQ的中点. (Ⅰ)求M的轨迹的参数方程;
(Ⅱ)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.
考点:参数方程化成普通方程.
专题:计算题;坐标系和参数方程. 分析:(Ⅰ)利用参数方程,可得M的坐标,消去参数,即可求出M的轨迹的参数方程; (Ⅱ)利用距离公式,将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,当α=π时,d=0,即可判断M的轨迹是否过坐标原点. 解答: 解:(Ⅰ)依题意有P(2cosα,2sinα),Q(2cos2α,2sin2α), 因此M(cosα+cos2α,sinα+sin2α) M的轨迹的参数方程为(Ⅱ)M点到坐标原点的距离
,…
当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点 … 点评:本题考查参数方程的运用,考查学生分析解决问题的能力,正确运用参数方程是关键.
选修4-5:不等式选讲
24.设函数f(x)=|2x﹣7|+1.
(1)求不等式f(x)≤|x﹣1|的解集;
(2)若存在x使不等式f(x)≤ax成立,求实数a的取值范围.
考点:绝对值不等式的解法. 专题:不等式的解法及应用. 分析:(Ⅰ)原不等式等价于|2x﹣7|+1≤|x﹣1|,分类讨论,求得它的解集.
(Ⅱ) 由函数y=f(x)与函数y=ax的图象可知,当且仅当a≥,或a<﹣2时,函数y=f(x)与函数y=ax的图象有交点,从而得到实数a的取值范围. 解答: 解:(Ⅰ)原不等式等价于|2x﹣7|+1≤|x﹣1|, 当x<1时,﹣(2x﹣7)+1≤﹣(x﹣1),解得x≥7,∴x不存在; 当1≤x≤时,﹣(2x﹣7)+1≤x+1,解得x≥3,∴3≤x≤; 当x>时,2x﹣7+1≤x﹣1,解得 x≤5,∴<x≤5. 综上,不等式的解集为[3,5].
(Ⅱ) 由函数y=f(x)与函数y=ax的图象可知,
当且仅当a≥,或a<﹣2时,函数y=f(x)与函数y=ax的图象有交点, 故存在x使不等式f(x)≤ax成立时,a的取值范围是(﹣∞﹣2)∪[+∞).
点评:本题主要考查绝对值不等式的解法,体现了转化、分类讨论的数学思想,属于基础题.