发布时间 : 星期一 文章2020届江苏省高考数学二轮复习专项强化练（七）平面向量更新完毕开始阅读912c0df13868011ca300a6c30c2259010202f3b1
专项强化练(七) 平面向量
A组
题型一 平面向量的线性运算
―→|BC|―→―→―→
1．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若OA＋2OC＝3OB，则的值为________．
―→|AB|―→―→―→―→―→―→―→
解析：由OA＋2OC＝3OB，得OA－OB＝2OB－2OC， ―→
|BC|1―→―→
即BA＝2CB，所以＝.
―→2|AB|1答案：
2
―→―→―→―→―→
2．在?ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝____________(用a，b表示)．
1―→―→―→3―→3―→―→―→―→3
解析：由AN＝3NC得AN＝AC＝(a＋b)，AM＝a＋b，所以MN＝AN－AM＝(a＋b)－
4424
?a＋1b?＝－1a＋1b.
?2?44??
11
答案：－a＋b
44 [临门一脚]
1．对相等向量、零向量、单位向量等概念的理解要到位．
2．用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：(1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或平行四边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果．
3．线性运算由于基底运用难度较大，能建立坐标系的时候，建系优先． 4．利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点．
―→―→―→
5．已知OA＝λOB＋μOC (λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. 题型二 平面向量的坐标表示
1．(2019·锡山中学模拟)已知向量a，b满足a＋2b＝(－3,4)，2a－b＝(4，－2)，则a＋b＝________.
??a＋2b＝解析：?
??2a－b＝
2
2
－3，4，
4，－2，
得a＝(1,0)，b＝(－2,2)．所以a＋b＝|a|＋|b|＝1＋(－2)＋
22222
2＝9.
答案：9
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值是________．
2
解析：因为u＝(1＋2x,4)，v＝(2－x,3)，u∥v， 1
所以8－4x＝3＋6x，所以x＝. 21答案：
2
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝____________. 解析：不妨设c＝(m，n)，
则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)， 对于(c＋a)∥b，有－3(1＋m)＝2(2＋n)．① 对于c⊥(a＋b)，有3m－n＝0.② 77
联立①②，解得m＝－，n＝－.
937??7
故c＝?－，－?.
3??97??7
答案：?－，－?
3??9[临门一脚]
1．解决向量的坐标运算问题，关键是掌握线性运算法则及坐标运算的特点．一般地，已知有向线段两端点的坐标，应先求出向量的坐标．解题时注意利用向量相等(横、纵坐标分别相等)建立方程(组)求解．
2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.
题型三 平面向量的数量积
1．已知向量a＝(3，－2)，b＝(1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为________． 解析：依题意，λa＋b＝(3λ＋1，－2λ)，a－2b＝(1，－2)，所以(λa＋b)·(a－2b)＝7λ＋1＝1
0，λ＝－.
7
1
答案：－ 7
―→―→―→―→―→―→―→―→―→
2．已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝2，|AC|＝3.若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为________．
―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→解析：由题意得，AB·AC＝－3，由AP·BC＝(λAB＋AC)·(AC－AB)＝0，得λAB·AC12―→2―→2―→―→
－λAB＋AC－AC·AB＝0，即－3λ－4λ＋9＋3＝0，故λ＝. 7
x1y1x2y2
12答案：
7
3．(2019·丹阳中学月考)在直角坐标系中，已知三点A(a,1)，B(3，b)，C(4,5)，O为坐标原点．若―→―→―→―→―→
向量OA与OC在向量OB方向上的投影相等，且AB·OC＝－10，则a－b＝________.
―→―→―→―→―→―→―→
解析：因为向量OA与OC在向量OB方向上的投影相等，所以OA·OB＝OB·OC， 3a＋b＝12＋5b，即3a－4b－12＝0，①
―→―→―→―→
又AB＝(3－a，b－1)，OC＝(4,5)，所以AB·OC＝－4a＋5b＋7＝－10，即4a－5b－17＝0，② ②－①得a－b＝5. 答案：5
4．(2018·武汉调研)在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1.边DC上的动点P(包含点D，C)与CB延长线上―→―→―→―→
的动点Q(包含点B)满足|DP|＝|BQ|，则PA·PQ的最小值为________．
解析：以点A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，―→―→―→
设P(x，1)，Q(2，y)，由题意知0≤x≤2，－2≤y≤0.∵|DP|＝|BQ|，∴|x|＝|y|，∴x＝－y.∵PA―→―→―→?1?22
＝(－x，－1)，PQ＝(2－x，y－1)，∴PA·PQ＝－x(2－x)－(y－1)＝x－2x－y＋1＝x－x＋1＝?x－?
?2?
2
313―→―→
＋，∴当x＝时，PA·PQ取得最小值，为. 424
3答案：
4 [临门一脚]
1．若向量a，b，c满足a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c.
2．两个向量a与b的夹角为锐角(钝角)，则有a·b>0(a·b<0)，反之不成立(因为夹角为0(π)时不成立)．
3．在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|＝a·a要引起足够重视，是求模常用的公式．
4．数量积的运算中，a·b＝0?a⊥b，是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.
5．平面向量的求解常见方法有定义法、坐标法、转化法、极化恒等式法、投影法．
B组——高考提速练
1．(2019·盐城中学模拟)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3，m)，若a∥(2a－b)，则a在b方向上的投影是________．
解析：2a－b＝(2,4)－(－3，m)＝(5,4－m)，因为a∥(2a－b)，所以1×(4－m)－2×5＝0，所以m＝－6，所以b＝(－3，－6)，所以a在b方向上的投影是
答案：－5
―→―→―→―→―→―→
2.如图，已知AB＝a，AC＝b，BD＝3DC，用a，b表示AD，则AD＝________.
a·b1×－3＋2×－6
＝＝－5. |b|9＋36
―→―→―→―→―→―→1―→1
解析：因为CB＝AB－AC＝a－b，又BD＝3DC，所以CD＝CB＝(a－b)，
44113―→―→―→
所以AD＝AC＋CD＝b＋(a－b)＝a＋b.
44413
答案：a＋b
44
―→―→―→
3．(2019·白蒲中学模拟)在平行四边形ABCD中，若AB＝xAC＋yAD，则x－y＝________. ―→―→―→―→―→―→―→―→
解析：在平行四边形ABCD中AC＝AB＋BC＝AB＋AD，所以AB＝AC－AD， 所以x＝1，y＝－1，则x－y＝2. 答案：2
4．已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线，若向量a＋kb与a－kb垂直，则k＝________. 解析：因为(a＋kb)⊥(a－kb)， 所以(a＋kb)·(a－kb)＝0， 即|a|－k|b|＝0.
932
又因为|a|＝3，|b|＝4，所以k＝，即k＝±.
1643
答案：± 4
―→―→―→―→
5．(2019·启东中学模拟)已知|OA|＝6，|OB|＝23，∠AOB＝30°，若t∈R，则|OA＋tAB|的最小值为______ .
―→―→―→―→―→―→―→―→―→2→2―
解析：|OA＋tAB|＝|OA＋t(OB－OA)|＝|(1－t)OA＋tOB|，则|OA＋tAB|＝(1－t)OA2
2
2
2
→2―→―→2―
＋tOB＋2(1－t)tOA·OB
＝36(1－t)＋12t＋2t(1－t)×6×23×
2
2
3 2