发布时间 : 星期日 文章2020届江苏省高考数学二轮复习专项强化练(七)平面向量更新完毕开始阅读912c0df13868011ca300a6c30c2259010202f3b1
3―→―→2
＝12(t－3t＋3)，当t＝时，|OA＋tAB|取得最小值3.
2答案：3
1―→―→
6.如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，cos∠BAC＝，DC＝2BD，则
3―→―→
AD·BC的值为________．
―→―→―→1―→―→―→―→―→
解析：由DC＝2BD，得AD＝(AC＋2AB)．又BC＝AC－AB，
3
1―→―→1―→―→―→―→1
3，cos∠BAC＝，所以AD·BC ＝(AC＋2AB)·(AC－AB)＝×(－9＋3)＝－2.
333
答案：－2
―→―→―→―→
7．(2019·扬州中学模拟)已知在等腰直角三角形ABC中，BA＝BC＝2，若AC＝2CE，则BA·BE＝________.
AB＝AC＝
解析： 如图，
―→―→―→―→―→BA·BE＝BA·(BA＋AE) ―→23―→―→＝BA＋BA·AC
2
3―→―→2
＝2＋|BA|·|AC|cos 135°
232??
＝4＋×2×22×?－?
2?2?＝－2. 答案：－2
―→―→―→
8．将向量OA＝(1,1)绕原点O逆时针方向旋转60°得到OB，则OB＝____________.
―→―→―→―→―→―→―→―→22
解析：法一：OA＝(1,1)，设OB＝(x，y)，则|OB|＝|OA|＝1＋1＝2，OA·OB＝|OA||OB―→―→
|×cos 60°＝1，又由向量的坐标运算可知OA·OB＝x＋y＝1，①
―→―→2222
|OA|＝|OB|＝x＋y＝2，化简得x＋y＝2，②
1－?x＝?2
因为点B在第二象限，故x<0，所以解得?
1＋y＝??2―→?1－31＋3?
故OB＝?，?.
2??2
3
，3，
―→―→22
法二：因为|OB|＝|OA|＝1＋1＝2，直线OB的倾斜角为60°＋45°＝105°，故点B的横坐2－61－3―→―→
标xB＝|OB|·cos(60°＋45°)＝2×＝，纵坐标yB＝|OB|·sin(60°＋45°)＝2
42×
2＋61＋3―→?1－31＋3?
＝，故OB＝?，?. 422??2答案：?
?1－31＋3?
，?
2??2
9．若向量a＝(cos 15°，sin 15°)，b＝(cos 75°，sin 75°)，则a＋b与a的夹角为________． 解析：a＋b＝(cos 15°＋cos 75°，sin 15°＋sin 75°)＝(cos 15°＋sin 15°，sin 15°＋cos 15°)，则(a＋b)·a＝cos 15°(cos 15°＋sin 15°)＋sin 15°(cos 15°＋sin 15°)＝1＋2cos 3
15°·sin 15°＝1＋sin 30°＝，
2
|a＋b|＝
cos 15°＋sin 15°
2
2
＋sin 15°＋cos 15°
2
＝2sin 15°＋cos 15°
＝21＋2sin 15°·cos 15°＝3，
cos〈a＋b，a〉＝π答案：
6
a＋b·a3π
＝＝，又〈a＋b，a〉∈[0，π]，所以〈a＋b，a〉＝.
|a＋b||a|63×12
3
2
10.(2019·江都中学模拟)如图，在平行四边形ABCD中，M是BC―→
且AD＝DM，N是线段BD上的动点，过点N作AM的垂线，垂足为H，设HC―→―→―→
＋λ2AD，则当AM·MN最小时，λ1＋λ2的值为________．
的中点，―→＝λ1AB
5答案：
4
11.如图，等边△ABC的边长为2，顶点B，C分别在x轴的非负半轴，―→―→
负半轴上移动，M为AB的中点，则OA·OM的最大值为________．
解析：设∠OBC＝θ，因为BC＝2，所以B(2cos θ，0)，C(0,2sin θ)，―→
(－2cos θ，2sin θ)，设BA＝(x，y)，因为△ABC是边长为2的等边
??x＋y＝4，所以?
?－2xcos θ＋2ysin θ＝2，?
2
2
y轴的非
―→
则BC＝三角形，
?x＝3sin θ－cos θ，解得?
?y＝3cos θ＋sin θ，
―→
即BA＝(3sin θ－cos θ，3
―→―→―→
cos θ＋sin θ)，则OA＝OB＋BA＝(3sin θ＋cos θ，3cos θ＋sin θ)，因为M为AB的中3331―→―→1―→―→―→3
点，所以OM＝OB＋BA＝sin θ＋cos θ，cos θ＋sin θ，所以OA·OM＝＋3sin 2θ22222213331553212
＋＋sin 2θ＋cosθ＝sin 2θ＋cos 2θ＋＝7sin(2θ＋φ)＋其中cos φ＝，sin φ22222214＝
75―→―→
，所以OA·OM的最大值为＋7. 1425
答案：＋7
2
―→―→―→
12．已知△ABC的三个内角为A，B，C，重心为G，若2sin A·GA＋3sin B·GB＋3sin C·GC＝0，则cos B＝________.
解析：设a，b，c分别为角A，B，C所对的边， ―→―→―→
由正弦定理得2a·GA＋3b·GB＋3c·GC＝0， ―→―→―→―→―→
则2a·GA＋3b·GB＝－3c·GC＝－3c(－GA－GB)， ―→―→
即(2a－3c)GA＋(3b－3c)GB＝0.
?2a－3c＝0，―→―→
又GA，GB不共线，所以?
?3b－3c＝0，
由此得2a＝3b＝3c，所以a＝
33
b，c＝b， 23
a2＋c2－b21
于是由余弦定理得cos B＝＝.
2ac12
1
答案： 12
13．已知平面向量α，β满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则|α|的取值范围为________．
―→―→―→
解析：法一：由|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，作向量OA＝α，AB＝β－α，则OB
＝β，在△OAB中，∠OAB＝60°，OB＝1，则由正弦定理23?23?
sin∠ABO∈?0，?，即0<|α|≤3.
3??
OBsin 60°＝OAsin ∠ABO，得OA＝233法二：设|α|＝u，|β－α|＝v，由|β|＝|α＋(β－α)|＝α＋2α·(β－α)＋(β－α)，得
2222
v2－uv＋u2－1＝0，再由关于v的一元二次方程有解，得u2－4(u2－1)≥0，又u>0，故0 23 0<|α|≤. 3 23 ，即3 ?23?答案：?0，? 3?? ―→2 14．在平面直角坐标系xOy中，设点A(1,0)，B(0,1)，C(a，b)，D(c，d)，若不等式CD≥(m－―→―→―→―→―→―→ 2)OC·OD＋m(OC·OB)·(OD·OA)对任意实数a，b，c，d都成立，则实数m的最大值是________． 解析：原不等式可化为(a－c)＋(b－d)≥(m－2)·(ac＋bd)＋mbc，即a＋b＋c＋d－m(ac＋bd＋ 2 2 2 2 2 2 bc)≥0，整理成关于实数a的不等式为a2－mca＋b2＋c2＋d2－mbd－mbc≥0恒成立，从而Δ1＝m2c2－4(b2 12222222 ＋c＋d－mbd－mbc)≤0，再整理成关于实数d的不等式为d－mbd＋b＋c－mbc－mc≥0，从而Δ2＝ 4 22??22 m2b2－4?b＋c－mbc－mc?≤0，再整理成关于实数b的不等式为(4－m2)b2－4mcb＋4c2－m2c2≥0，从而 ? 14 ? ??4－m>0，?22 ?Δ3＝16mc－4? 2 4－m2 4c－mc222 ≤0， 解得1－5≤m≤－1＋5，所以m的最大值是5－1. 答案：5－1