微积分(数学分析)习题及答案.doc 联系客服

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统计专业和数学专业数学分析(3)练习题一 填空题

1. 函数 z?arcsin2. 函数z?y?xy 的定义域是 . xx?y的定义域是 .

x2?y2),其中 x?y?0,则f(x?y,x?y?) . x224. 设 f(x,y)?x?y?xytan,则 f(tx,ty)? . y3. 设 f(x,y)?ln(x?5. 设E?R为 点集,则E在R中至少有一个聚点.

226. f(x,y,z)?xy2?yz3,则 gradf(2,?1,1)? 。

7. u?xy?z?xyz在点P0(1,1,2)处沿方向l(其中方向角分别为600,450,600)的方向导数为u?(P0)? .

l23?8. z?xy,其中x?0,x?0, 则dz? 。 9. 函数f(x,y)在(x0,y0)处可微,则 ?f?df? 。

10. 若函数 f(x,y)在区域D上存在偏导数,且fx?fy?0,,则f(x,y)在区域上为 函数。

1siny?0确定的隐函数y?f(x)的导数f'(x)? . 2dy243? . 12. 设xy?3xy?4?0, 则dx11. 由方程F(x,y)?y?x?13. 平面上点P的直角坐标(x,y)与极坐标(r,?)之间的坐标变换公式为 .其雅可比行列式

?(x,y)? . ?(r,?)14. 直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,?,?)之间的变换公式为 . 其雅可比行列式

?(x,y,z)? .

?(r,?,?)15. 设平面曲线由方程F(x,y)?0给出, 它在点P0(x0,y0)的某邻域内满足隐函数定理的条件,则该曲线在点P0处存在切线和法线,其方程分别为

切线: , 法线: .

16. 设空间曲线由参数方程L:x?x(t),y?y(t),z?z(t),??t??给出, 它在点处的切线和法平面方程为 P)(x(tt),z0t())0(x0,y0,z0?0),y(0切线: ,

法平面: . 17. 设空间曲线L由方程组??F(x,y,z)?0, 给出, 若它在点P0(x0,y0,z0)的某邻域内满足

?G(x,y,z)?0隐函数定理的条件,则该曲线在点P0处存在切线和法平面,其方程分别为

切线: , 法平面: .

18. 设曲面由方程F(x,y,z)?0给出,它在点P0(x0,y0,z0)的某邻域内满足隐函数定理条件,则该曲面在P0处有切平面与法线,它们的方程分别是

切平面: , 法线: . 19. 条件极值问题的一般形式是在条件组

?k(x1,x2,?,xn)?0,k?1,2,?,m(m?n)

的限制下,求目标函数 y?f(x1,x2,?,xn) 的极值.

其拉格朗日函数是 , 其中?1,?2,?,?m为拉格朗日乘数.

20. 若f(x,y)在矩形区域R上连续, 则对任何x0??a,b?, 都有lim21. (可微性)若函数f(x,y)与其偏导数则I(x)?x?x0c?df(x,y)dy? . ?dc?f(x,y)都在矩形区域R??a,b???c,d?上连续,?xddf(x,y)dy在?a,b?上可微,且?f(x,y)dy? .

dxc22. (可微性) 设f(x,y),fx(x,y)在R??a,b???p,q?上连续,c?x?,d?x?为定义在?a,b?上其值含于?p,q?内的可微函数,则函数F(x)??d(x)c(x)f(x,y)dy在?a,b?上可微,且

F'(x)? .

23. (两个累次积分的关系)若f(x,y)在矩形区域R??a,b???c,d?上连续,则

?badx?f(x,y)dy? . cd24. 含参量反常积分

???cf(x,y)dy 在?a,b?上一致收敛的充要条件是:对任一趋于??的

递增数列?An?(其中A1?c),函数项级数 在?a,b?上一致收敛. 25. 设有函数g(y),使得f(x,y)?g(y),a?x?b,c?y???.若

???cg(y)dy收敛,则

???cf(x,y)dy在?a,b?上 . 26. (连续性)设f(x,y)在?a,b???c,???上连续,若含参量反常积分I(x)?在?a,b?上 ,则I(x)在?a,b?上 .

27. (可微性)设f(x,y)与fx(x,y)在区域?a,b???c,???上连续。若I(x)?在?a,b?上 ,

????cf(x,y)dy??cf(x,y)dy???cfx(x,y)dy在?a,b?上 ,则I(x)在?a,b?上可微,且

I'(x)? .

28. 含参量积分: ?(s)? , B(p,q)? ,统称为欧拉积分,其中前者又称为格马(Gamma)函数(或写作?函数),后者称为贝塔(Beta)函数(或写作B函数).

29. ?函数有下列递推公式?(s?1)? , 则?(n)? ,

1????n??? . 2??30. ?函数还有其它两种形式, 它们是?(s)? ,和?(s)? .

31. B函数有下列递推公式B(p,q)? ,

B(p,q)? , B(p,q)? . 32. B函数还有其它两种形式, 它们是B(p,q)? ,

B(p,q)? .

33. ?函数与B函数之间的关系是B(p,q)? . 34.

?L(x?y)ds?_________,其中L是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形.

22235.(x?y?z)ds?______,其中L为螺旋线x?acost,y?asint,z?bt(0?t?

L?2?)的一段.

36.设L为抛物线y?2x从(0,0)到(1,2)的一段,积分

2?xdy?ydx=______.

L37.

?xdx?ydy22L______,其中为圆周.依逆时针方向. ?x?y??Lx2?y238.

?Lxdx?ydy?zdz?______,其中L:从(1,1,1)到(2,3,4)的直线段.

39.设D?{(x,y)|x2?y2?x},则40.设V?[0,1]?[0,1]?[0,1],则41.

??Dxdxdy?__________

???(x?y?z)dxdydz=__________

V22222?=__________ ,其中D?{(x,y)|x?y?R}. f(x?y)dxdy??D42.由抛物线y2?mx,y2?nx ( 0?m?n ), 直线y?? x, y?? x( 0???? ) 所围的区域的面积是__________. 43.44.

222222?=______, 其中为球(x?y?z)dxdydz{ (x,y,z)|x?y?z?1 }. ??????(x?y?z)dS=_______, 其中S是上半球面xS2?y2?z2?a2,a?0.

45.

??(xS2?y2)dS=_______, 其中S为立体x2?y2?z?1,a?0的边界曲面.

46.

dS=_______, 其中S为柱面x2?y2?R2被平面z?0,z?H所截取的部分. 22??x?yS47.设S为平面x?y?z?1在第一卦限中的部分,则48.

??zdS?______.

S??xyzdS=_______, 其中S为平面x?y?z?1在第一卦限中的部分.

S21. (x,y)x?y?0,x?0; 2.(x,y)x?0,y?0,x?y;3. 2ln(x?????y);

4. tf(x,y);5. 有界无限; 6. (1,?3,?3);7. 5;8.yx2y?1 dx?xylnxdy; 9. ?(?);