发布时间 : 星期四 文章圆锥曲线的综合问题(一)详细解析版更新完毕开始阅读9162475fdfccda38376baf1ffc4ffe473368fdd0
x??＋y2＝1，由?2消去y，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2
??y＝kx＋m－2＝0.
因为直线l与椭圆C1相切，
所以Δ1＝16km－4(1＋2k)(2m－2)＝0. 整理得2k－m＋1＝0.①
?y2＝4x，222?由消去y，得kx＋(2km－4)x＋m＝?y＝kx＋m2
22
2
2
2
2
0.
因为直线l与抛物线C2相切，
所以Δ2＝(2km－4)2－4k2m2＝0，整理得km＝1.②
22???k＝，?k＝－，2或?2 综合①②，解得????m＝2?m＝－2. 22
所以直线l的方程为y＝x＋2或y＝－x22－2.
规律方法 研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，消元后，应注意讨论含
x项的系数是否为零的情况，以及判别式的应用.
但对于选择、填空题要充分利用几何条件，用数形结合的方法求解.
【训练1】 在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程；
(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2，1)，若直线l与轨迹C恰好有一个公共点，求实数k的取值范围.
解 (1)设点M(x，y)，依题意|MF|＝|x|＋1， ∴（x－1）＋y＝|x|＋1，化简得y＝2(|x|＋x)，
?4x（x≥0），故轨迹C的方程为y＝?
?0（x＜0）.
2
2
2
2
2
(2)在点M的轨迹C中，记C1：y＝4x(x≥0)；
2
C2：y＝0(x＜0).
依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2).
?y－1＝k（x＋2），
由方程组?2
?y＝4x，
可得ky－4y＋4(2k＋1)＝0.①
①当k＝0时，此时y＝1.把y＝1代入轨迹C的1
方程，得x＝.
4
故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点
?1??，1?. ?4?
2
②当k≠0时，方程①的Δ＝－16(2k＋k－1)＝－16(2k－1)(k＋1)，②
设直线l与x轴的交点为(x0，0)，则 由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－③
2k＋1
2
k.
?Δ＜0，1
(ⅰ)若?由②③解得k＜－1，或k＞.
2?x0＜0，
1
所以当k＜－1或k＞时，直线l与曲线C1没有
2公共点，与曲线C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.
2k＋k－1＝0，??Δ＝0，?
(ⅱ)若?即?2k＋1解集为?.
＜0，?x0≥0，??k1
综上可知，当k＜－1或k＞或k＝0时，直线l2与轨迹C恰好有一个公共点. 考点二 弦长问题
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xy【例2】 (2016·四川卷)已知椭圆E：2＋2＝ab1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l：y＝－x＋3与椭圆
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E有且只有一个公共点T.
(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；