发布时间 : 星期五 文章44个精彩的物理趣题更新完毕开始阅读91a4dbf1941ea76e58fa0463
环所贡献的重力加速度大小就是 G·dM·cosθ /r2 。如果把这个圆环从星体中挖掉，放到其它的位置上，那么新的圆环将会有新的 r 值和 θ 值。当整个形状达到最优时，这个形状将位于“极值点”的位置，也就是说它的“微分”为 0 ，任何微小的变动都不会改变 m 的加速度。这就意味着， cosθ / r2 是一个常数。这个条件就确定出整个星体的形状。
Fermat 光程最短原理指出，光从 A 点到 B 点，总是沿着最快的路径传播。这一神奇的定律一下子就把直线传播定律、反射定律、折射定律统一在了一起。不过，后来我们知道了，更一般的描述应该是，光总 是沿着光程处于驻点的路径传播。为什么会加上这一条？有没有光程极大的例子呢？
这里有一个例子。考虑椭圆内的两个焦点 A 、 B ，和椭圆上的一点 M 。显然，不管 M 取在哪儿， AM + BM 都是相同的。现在，在椭圆内部画一条曲线，这条曲线与椭圆相切于 M 点。然后，擦掉原来的椭圆，把这条曲线视作镜面。显然， AMB 仍然是一条反射光线，但从其它地方反射，光程都会小于 AMB 。 AMB 是一个光程极大的路径。
物理量的单位总是由基本单位（质量、长度、时间等）的幂相乘得来的。比如，能量的单位就是 1J = kg·m2·s-2 。为什么没有什么物理量，它是由基本单位通过更复杂的形式导出的？比如说，为何没有什么物理量，它的单位是 sin(kg)·log(m) ？
这是一个非常有趣，无疑也是非常深刻的问题。它让我们开始认真思考一个看上去很不像问题的问题：什么是物理量？什么是物理单位？我们需要去挖掘物理量和物理单位的最基本、最本质的性质。 网站上的标准答案是，只有这种形式的导出单位才能保证，在不同的单位制下，得到的导出单位是等价的。
具体地说，物理单位的作用就是用来描述，当各个基本单位的尺度变化以后，这个物理量会发生怎样的变化。比如说，密度单位是质量除以长度的三次方， 就表明如果质量扩大到原来的 2 倍（或者说单位量变成了原来的 1/2 ），长度扩大到原来的 4 倍（或者说单位量变成了原来的 1/4 ），那么这个物理量将会变成原来的 2/43 = 1/32 。
现在，假设某个物理量的单位是质量的正弦乘以长度的对数。按照国际标准单位制，这个单位是 sin(kg)·log(m) 。假如单位换成了 sin(g)·log(cm) ，那么这个物理量将会变成原来的 sin(1000)·log(100) ≈ 3.80792 。再继续换算成 sin(mg)·log(mm) ，物理量应该继续变成原来的 sin(1000)·log(10) ≈ 1.90396 。但是，如果从 sin(kg)·log(m) 直接变到 sin(mg)·log(mm) ，物理量应该变成原来的 sin(1 000
000)·log(1000) ≈ -2.41767 ，这就和前面的结果矛盾了。利用一些微积分知识可以证明，如果一个合成物
理单位不会出现这样的问题，它必然是基本单位的幂的乘积的形式。 不过，这个解释并不能让我十分满意。大家怎么看呢？
有一个无穷大的正方形网格，每条小线段都是 1Ω 的电阻丝。求相邻两点间的等效电阻阻值。
这个问题有一个很妙的解法。假设一个大小为 1A 的电流从红点处流入，从各个无穷远处流出。由对称性，有 (1/4)A 的电流将会流过红蓝两点之间的线段。现在，再假设一个大小为 1A 的电流从各个无穷远处流入，从蓝色点流出。由对称性，红蓝两点之间的线段仍然有 (1/4)A 的电流。现在，把两种情况叠加在一起看，大小为 1A 的电流从红点进去从蓝点出来，那么，红蓝两点间的线段就有 (1/2)A 的电流。因而，两点间的电压就是 (1/2)A·1Ω = (1/2)V 。因而两点间的等效电阻就是 (1/2)V / 1A = (1/2)Ω。 说到无穷网格电阻的问题，我们有说不完的话题。这个问题本身的扩展非常之多。例如，我们可以把问题扩展到 N 维的情形：N 维无限电阻网格中，相邻两点的等效电阻是多少？利用同样的方法可以得出，答案就是 1/N。
回到二维情形，如果我们换一个扩展方向，改问对角两点间的电阻，上述分析方法就不行了。而这个加强版问题的答案也更加玄妙：两点间的阻值为 (π/2)Ω 。大家可以在网上很多地方查到这个加强版问题的解法。
xkcd 有一个经典漫画，形象地描绘出 nerd 们被数理趣题折磨的感受。当然，这幅画本身也折磨了不少人，网上涌现出大量对这个问题的讨论。
还有一种经典的无穷电阻问题：一个向右无穷延伸的梯子形网格，每条线段都是 1Ω 的电阻，求两点间的等效电阻。
问题的解法非常漂亮。假设我们要求的答案是 R，则 R 可以看作是三个 1Ω 的电阻串联，然后把一个阻值为 R 的电阻（也就是它本身）与中间那个 1Ω 电阻并联所得。于是得到等量关系 R = 1 + 1/(1+1/R) + 1，解得 R = 1 + √3。
还有一些经典的求电阻问题。其中一个问题是，一个正方体的 12 条棱上各有一个 1Ω 的电阻，求距离最远的两个顶点之间的等效电阻。 2007 年 10 月份 IBM Ponder This 的题目则是，分别考虑五种正多面体，如果每条棱上各有一个 1Ω 的电阻，则相邻两顶点的等效电阻是多少？巧妙地利用对称性，这几个问题都可以迅速被秒杀。
假设有一个圆锥形的冰山，冰山表面绝对光滑。你打算把一个绳圈套在山尖上，然后沿着绳索爬上去。考虑两个极端情况：如果冰山特别 尖，顶角特别小，这个计划自然不成问题；但若冰山特别“肥”，顶角特别大，向下拉绳子后，绳圈将会滑出山尖。这中间一定有一个临界点，也就是绳圈掉不出来 的最大顶角。这个顶角是多大？
这是一个非常有趣的问题。问题的本质就是，绳圈在怎样的圆锥面上才存在“被拉紧”的稳定状态。容易想到，绳子被拉紧，意味着绳圈从 A 点出发，将沿最短路径绕过山尖一周，再回到 A 点。如果把圆锥的侧面展开成扇形，绳圈其实就像下面这样（图中的 A 点和 A' 点在圆锥上是同一个点）。
显然，当这个扇形的顶角小于 180 度时，这样的绳圈才可能存在；而当这个扇形的顶角大于 180 度时，拉紧的绳圈就会滑到山尖外面去。据此不难推出，所求的临界情况就是，圆锥的高与母线的夹角为 30 度。
n 块相同的木板重叠，最多能够伸出桌面多远？