发布时间 : 星期日 文章【创新方案】2020年高考数学一轮复习 第十三篇 推理证明、算法、复数 第2讲 直接证明与间接证明教案 理 新更新完毕开始阅读91bae30ee65c3b3567ec102de2bd960591c6d948
第2讲 直接证明与间接证明
【2020年高考会这样考】
1．在历年的高考中，证明方法是常考内容，考查的主要方式是对它们原理的理解和用法．难度多为中档题，也有高档题．
2．从考查形式上看，主要以不等式、立体几何、解析几何、函数与方程、数列等知识为载体，考查综合法、分析法、反证法等方法． 【复习指导】
在备考中，对本部分的内容，要抓住关键，即分析法、综合法、反证法，要搞清三种方法的特点，把握三种方法在解决问题中的一般步骤，熟悉三种方法适用于解决的问题的类型，同时也要加强训练，达到熟能生巧，有效运用它们的目的
．
基础梳理
1．直接证明 (1)综合法
①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法． ②框图表示：P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→…→Qn?Q
(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论)． (2)分析法
①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法．
②框图表示：Q?P1→P1?P2→P2?P3→…→ 得到一个明显成立的条件. 2．间接证明
一般地，由证明p?q转向证明：綈q?r?…?t.
t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判定綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．
一个关系
综合法与分析法的关系
分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用． 两个防范
(1)利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．
(2)用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．
双基自测
1．(人教A版教材习题改编)p＝ab＋cd，q＝ma＋nc·为正数)，则p、q的大小为( )．
A．p≥q B．p≤q C．p＞q D．不确定 解析 q＝ bd＋(m、n、a、b、c、d均mnmadnbcab＋＋＋cd≥ab＋2abcd＋cd
nmmadabc＝时取等号． nm＝ab＋cd＝p，当且仅当答案 B
2．设a＝lg 2＋lg 5，b＝e(x＜0)，则a与b大小关系为( )． A．a＞b C．a＝b
xxB．a＜b D．a≤b
解析 a＝lg 2＋lg 5＝1，b＝e，当x＜0时，0＜b＜1. ∴a＞b. 答案 A
3．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为( )． A．a，b，c都是奇数 B．a，b，c都是偶数 C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
解析 ∵a，b，c恰有一个偶数，即a，b，c中只有一个偶数，其反面是有两个或两个以上偶数或没有一个偶数即全都是奇数，故只有D正确． 答案 D
4．(2020·广州调研)设a、b∈R，若a－|b|＞0，则下列不等式中正确的是( )． A．b－a＞0 B．a＋b＜0 C．a－b＜0 D．b＋a＞0 解析 ∵a－|b|＞0，∴|b|＜a，∴a＞0，∴－a＜b＜a，∴b＋a＞0.
3
3
2
2
答案 D
5．在用反证法证明数学命题时，如果原命题的否定事项不止一个时，必须将结论的否定情况逐一驳倒，才能肯定原命题的正确．
例如：在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内一点，∠APB＞∠APC，求证：∠BAP＜∠CAP，用反证法证明时应分：假设________和________两类． 答案 ∠BAP＝∠CAP ∠BAP＞∠CAP
考向一 综合法的应用
a2b2c2
【例1】?设a，b，c＞0，证明：＋＋≥a＋b＋c.
bca[审题视点] 用综合法证明，可考虑运用基本不等式． 证明 ∵a，b，c＞0，根据均值不等式，
a2b2c2
有＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c. bcaa2b2c2
三式相加：＋＋＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)．
bca当且仅当a＝b＝c时取等号．
a2b2c2
即＋＋≥a＋b＋c. bca 综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式
或不等式成立．因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法．其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性． 11
【训练1】 设a，b为互不相等的正数，且a＋b＝1，证明：＋＞4.
ab11?11?ba证明 ＋＝?＋?·(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4.
ab?ab?
ab11
又a与b不相等．故＋＞4.
ab考向二 分析法的应用
?a＋mb?2≤a＋mb. 【例2】?已知m＞0，a，b∈R，求证：??1＋m?1＋m?
[审题视点] 先去分母，合并同类项，化成积式． 证明 ∵m＞0，∴1＋m＞0. 所以要证原不等式成立，
只需证明(a＋mb)≤(1＋m)(a＋mb)，
2
2
2
22
即证m(a－2ab＋b)≥0，
即证(a－b)≥0，而(a－b)≥0显然成立， 故原不等式得证．
逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条
件，正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键． 【训练2】 已知a，b，m都是正数，且a＜b. 求证：
2
2
22
a＋ma＞. b＋mba＋ma＞，由于a，b，m都是正数， b＋mb证明 要证明
只需证a(b＋m)＜b(a＋m)， 只需证am＜bm，
由于m＞0，所以，只需证a＜b. 已知a＜b，所以原不等式成立．
(说明：本题还可用作差比较法、综合法、反证法)
考向三 反证法的应用
【例3】?已知函数f(x)＝a＋
xx－2
(a＞1)． x＋1
(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数． (2)用反证法证明f(x)＝0没有负根．
[审题视点] 第(1)问用单调增函数的定义证明；第(2)问假设存在x0＜0后，应推导出x0的范围与x0＜0矛盾即可．
证明 (1)法一 任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨设x1＜x2，则x2－x1＞0，ax2－x1＞1，且
ax1＞0.
所以ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)＞0.又因为x1＋1＞0，x2＋1＞0，所以
x2－2x1－2
－＝x2＋1x1＋1
x2－2
x1＋1－x1－2x2＋1x1＋1
x2＋1
＝
3x2－x1
＞0，
x2＋1x1＋1
于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋
x2－2x1－2
－＞0， x2＋1x1＋1
故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数． 法二 f′(x)＝aln a＋
x3x＋1
2
＞0，
∴f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
(2)假设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，则ax0＝－
x0－2x0－2
，又0＜ax0＜1，所以0＜－x0＋1x0＋1