发布时间 : 星期日 文章【创新方案】2020年高考数学一轮复习 第十三篇 推理证明、算法、复数 第2讲 直接证明与间接证明教案 理 新更新完毕开始阅读91bae30ee65c3b3567ec102de2bd960591c6d948
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＜1，即＜x0＜2，与x0＜0(x0≠－1)假设矛盾．故f(x0)＝0没有负根．
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当一个命题的结论是以“至多”，“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜
用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．
【训练3】 已知a，b为非零向量，且a，b不平行，求证：向量a＋b与a－b不平行． 证明 假设向量a＋b与a－b平行， 即存在实数λ使a＋b＝λ(a－b)成立， 则(1－λ)a＋(1＋λ)b＝0，∵a，b不平行，
??1－λ＝0，∴?
?1＋λ＝0，?
??λ＝1，
得?
?λ＝－1，?
所以方程组无解，故假设不成立，故原命题成立．
规范解答24——怎样用反证法证明问题
【问题研究】 反证法是主要的间接证明方法，其基本特点是反设结论，导出矛盾，当问题从正面证明无法入手时，就可以考虑使用反证法进行证明.在高考中，对反证法的考查往往是在试题中某个重要的步骤进行.
【解决方案】 首先反设，且反设必须恰当，然后再推理、得出矛盾，最后肯定.
【示例】?(本题满分12分)(2020·安徽)设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数
k1，k2满足k1k2＋2＝0.
(1)证明l1与l2相交；
(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x＋y＝1上．
第(1)问采用反证法，第(2)问解l1与l2的交点坐标，代入椭圆方程验证．
[解答示范] 证明 (1)假设l1与l2不相交， 则l1与l2平行或重合，有k1＝k2，(2分) 代入k1k2＋2＝0，得k1＋2＝0.(4分)
这与k1为实数的事实相矛盾，从而k1≠k2，即l1与l2相交．(6分) (2)由方程组?
?y＝k1x＋1，?
??y＝k2x－1，
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2x＝??k－k，
解得交点P的坐标(x，y)为?k＋ky＝??k－k.
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(9分)
从而2x＋y＝2?
2
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?2?2＋?k2＋k1?2
????k2－k1??k2－k1?
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8＋k2＋k1＋2k1k2k1＋k2＋4＝22＝22＝1，
k2＋k1－2k1k2k1＋k2＋4
此即表明交点P(x，y)在椭圆2x＋y＝1上．(12分)
用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2)
必须从否定结论进行推理，
即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的．
【试一试】 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列． [尝试解答] (1)当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1. 1
又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，两式相减得an＋1＝an，
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所以{an}是首项为1，公比为的等比数列，所以an＝n－1.
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(2)反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p＜q＜r，且p，q，
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r∈N*)，
111r－qr－p则2·q＝p＋r，所以2·2＝2＋1.①
222又因为p＜q＜r，所以r－q，r－p∈N.
所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立，所以假设不成立，原命题得证．
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