发布时间 : 星期三 文章2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)更新完毕开始阅读91cbe3169fc3d5bbfd0a79563c1ec5da51e2d6cf
梦想不会辜负每一个努力的人 （1）求cosB；
（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．
【分析】（1）利用三角形的内角和定理可知A+C=π﹣B，再利用诱导公式化简sin（A+C），利用降幂公式化简8sin2，结合sin2B+cos2B=1，求出cosB， （2）由（1）可知sinB=b．
【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin2， ∴sinB=4（1﹣cosB）， ∵sin2B+cos2B=1，
∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1， ∴16（1﹣cosB）2+cos2B﹣1=0，
∴16（cosB﹣1）2+（cosB﹣1）（cosB+1）=0， ∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0， ∴cosB=
；
，
，利用勾面积公式求出ac，再利用余弦定理即可求出
（2）由（1）可知sinB=∵S△ABC=ac?sinB=2， ∴ac=
，
∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2×
×
=a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4， ∴b=2．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的面积公式，二倍角公式和同角的三角函数的关系，属于中档题
18．（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：
梦想不会辜负每一个努力的人
（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
旧养殖法 新养殖法
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg
（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）． 附：
P（K2≥k）
k
K2=
0.050 3.841 ．
0.010 6.635
0.001 10.828
【分析】（1）由题意可知：P（A）=P（BC）=P（B）P（C），分布求得发生的频率，即可求得其概率；
（2）完成2×2列联表：求得观测值，与参考值比较，即可求得有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
（3）根据频率分布直方图即可求得其中位数．
【解答】解：（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”， 由P（A）=P（BC）=P（B）P（C），
则旧养殖法的箱产量低于50kg：（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62，
梦想不会辜负每一个努力的人 故P（B）的估计值0.62，
新养殖法的箱产量不低于50kg：（0.068+0.046+0.010+0.008）×5=0.66， 故P（C）的估计值为，
则事件A的概率估计值为P（A）=P（B）P（C）=0.62×0.66=0.4092； ∴A发生的概率为0.4092； （2）2×2列联表：
旧养殖法 新养殖法 总计
则K2=
由15.705＞6.635，
∴有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；
（3）由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图的面积： （0.004+0.020+0.044）×5=0.34， 箱产量低于55kg的直方图面积为：
（0.004+0.020+0.044+0.068）×5=0.68＞0.5， 故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）．
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查独立性检验，考查计算能力，属于中档题．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点． （1）证明：直线CE∥平面PAB；
（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．
≈52.35（kg），
箱产量＜50kg
62 34 96
≈15.705，
箱产量≥50kg
38 66 104
总计 100 100 200
梦想不会辜负每一个努力的人
【分析】（1）取PA的中点F，连接EF，BF，通过证明CE∥BF，利用直线与平面平行的判定定理证明即可．
（2）利用已知条件转化求解M到底面的距离，作出二面角的平面角，然后求解二面角M﹣AB﹣D的余弦值即可．
【解答】（1）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点， 所以EF
AD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥AD，
∴BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，BF?平面PAB，CE?平面PAB， ∴直线CE∥平面PAB；
（2）解：四棱锥P﹣ABCD中，
侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD， ∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．
取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设AD=2，则AB=BC=1，OP=
，
∴∠PCO=60°，直线BM与底面ABCD所成角为45°， 可得：BN=MN，CN=
MN，BC=1，
，MN=
，
可得：1+BN2=BN2，BN=
作NQ⊥AB于Q，连接MQ，AB⊥MN，
所以∠MQN就是二面角M﹣AB﹣D的平面角，MQ==
，
=
．
二面角M﹣AB﹣D的余弦值为：