发布时间 : 星期日 文章高中数学教案 2.1 合情推理与演绎推理（三）更新完毕开始阅读91cd7cced2d233d4b14e852458fb770bf78a3bf1
§2.1 合情推理与演绎推理（三）
【学情分析】：
合情推理（归纳推理和类比推理）的可靠性有待检验，在这种情形下，提出演绎推理就显得水到渠成了．通过演绎推理的学习，让学生对推理有了全新的认识，培养其言之有理、论证有据的习惯，加深对数学思维方法的认识．
【教学目标】：
（1）知识与技能：
了解演绎推理的含义、基本方法；正确地运用演绎推理、进行简单的推理． （2）过程与方法：
体会运用“三段论”证明问题的方法、规范格式． （3）情感态度与价值观：
培养学生言之有理、论证有据的习惯；加深对数学思维方法的认识；提高学生的数学思维能力．
【教学重点】：
正确地运用演绎推理进行简单的推理．
【教学难点】：
正确运用“三段论”证明问题．
【教学过程设计】： 教学环节 教 学 活 动 归纳推理：从特殊到一般 类比推理：从特殊到特殊 一、复习： 从具体问题出发――观察、分析比较、联想――归纳．类比――提出猜想． 合情推理 设计意图 复习旧知识 二、 问题情境 三、 学生活动 四、 建构数学——概念观察与思考：（学生活动） 1．所有的金属都能导电， 铜是金属， 所以，铜能够导电． 2．一切奇数都不能被2整除， （2100+1）是奇数， 所以，（2100+1）不能被2整除． 3．三角函数都是周期函数， tan?是三角函数， 所以，tan?是周期函数． 提出问题：像这样的推理是合情推理吗？如果不是，它与合情推理有何不同（从推理形式上分析）？ 1．所有的金属都能导电 ←————大前提 铜是金属， ←-----小前提 所以，铜能够导电 ←――结论 2．一切奇数都不能被2整除 ←————大前提 100（2+1）是奇数，←――小前提 100所以，（2+1）不能被2整除。 ←―――结论 3．三角函数都是周期函数， ←——大前提 tan?是三角函数， ←――小前提 所以，tan?是周期函数。←――结论 演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理（或逻辑推理）． 创设问题情景，引入新知 学生探索， 发现问题， 总结特征 构建新知， 概念形成
形成 注： 1．演绎推理是由一般到特殊的推理．（与合情推理的区别） 2．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： （1）大前提——已知的一般原理； （2）小前提——所研究的特殊情况； （3）结论——据一般原理，对特殊情况做出的判断． 三段论的基本格式： 大前提：M是P 小前提：S是M 结 论：S是P 3．用集合的观点来理解“三段论”推理： 若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P． 巩固新知， 加强认识 五、 数学运用 例1、把P78中的问题（2）、（5）恢复成完全三段论的形式． 解：（2）因为太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，（大前提） 而冥王星是太阳系的大行星， （小前提） 因此冥王星以椭圆形轨道绕太阳运行． （结论） （5）∵两直线平行，同旁内角互补， （大前提） 而∠A 、∠B是两条直线的同旁内角， （小前提） ∴∠A+∠B＝180°． （结论） 例2、如图；在锐角三角形ABC中，AD⊥BC， BE⊥AC， D，E是垂足，求证：AB的中点M到D、E的距离相等． 解：（1）因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，——大前提 在△ABC中，AD⊥BC，即∠ADB=90°，————小前提 所以△ABD是直角三角形————结论． （2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，————大前提 而DM是直角三角形ABD斜边CAB上的中线，——小前提 D所以DM=E1AB．————结论 2同理EM=AB． 所以DM=EM. 注：在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定是正确的. 思考：分析下面的推理： xAMB因为指数函数y?a是增函数，————大前提 ?1?而y???是指数函数，————小前提 ?2?x1．运用新知； 2．板书解题详细步骤，规范学生的解题格式． 通过错例分析，加深理解 ?1?所以y???是增函数. ————结论 ?2?（1）上面的推理形式正确吗？（2）推理的结论正确吗？
x
提示：推理形式正确，但大前提是错误的（因为指数函数y?a（0＜a＜1＝是减函数＝，所以所得的结论是错误的. 例3、证明函数f(x)??x2?2x在???,?1?上是增函数. x六、 小结与反思 板演：证明方法（定义法、导数法） → 指出：大前题、小前题、结论. 1．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： （1）大前提——已知的一般原理； （2）小前提——所研究的特殊情况； （3）结论——据一般原理，对特殊情况做出的判断． 三段论的基本格式为： 大前提：M是P 小前提：S是M 结 论：S是P 2．合情推理与演绎推理的区别和联系： （1）推理形式不同（归纳是由特殊到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理）； （2）合情推理为演绎推理提供方向和思路；演绎推理验证合情推理的正确性． 对比分析， 提高认识 【练习与测试】：
1．下面的推理过程中，划线部分是（ ）．
因为指数函数y?a是减函数，而y?2是指数函数，所以y?2是减函数.
A．大前提 B．小前提 C．结论 D．以上都不是
2．小偷对警察作如下解释：是我的录象机，我就能打开它．看，我把它打开了，所以它是我的录象机．请问这一推理错在哪里？（ ）
A．大前提 B．小前提 C．结论 D．以上都不是
3．因为相似三角形面积相等，而△ABC与△A1B1C1面积相等，所以△ABC与△A1B1C1相似.上述推理显然不对，这是因为（ ）．
A．大前提错误 B．小前提错误 C．结论错误 D．推理形式错误 4．请判断下面的证明，发生错误的是（ ）．
∵一个平面内的一条直线和另一个平面内的两条直线平行，则着两个平面平行， 又∵直线l?平面?，直线m?平面?，直线n?平面?，且l∥m， ∴?∥?.
A．大前提错误 B．小前提错误 C．结论错误 D．以上都错误 5．函数y?f?x??x?R?为奇函数，f?1??A．0 B．1 C．6．下面给出一段证明： ∵直线l?平面?， 又∵?∥?，
∴l∥?.
这段证明的大前提是 ． 7．如图，下面给出一段“三段论”式的证明，写出这段证明的大前提和结论． ∵ ．（大前提） 又∵PA⊥BC，AB⊥BC，PA∩AB=A． （小前提）
∴ ．（结论）
xxx1． ,f?x?2??f?x??f?2?，则f?5??（ ）
25 D．5 2
PABC
8．用“三段论”证明：通项公式为an?c?dn的数列?an?是等差数列. 9．用“三段论”证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C，则AB=DC． 10．将课本第89页例6的证明改成用“三段论”书写． 11．证明函数f(x)=－x2+2x在［1，+∞］上是减函数． 12．设a＞0,b＞0,a+b=1,求证：
111???8． abab
参考答案
1～5：BADAC
6．两个平行平面中一个平面的任意一条直线平行于另一个平面
7．如果一条直线和某一平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就和该平面垂直； BC⊥平面PAB
8．证：如果数列?an?满足：an?1?an?d（常数），那么数列?an?是等差数列 （大前提） ∵数列?an?中有an?1?an?c?d(n?1)?(c?dn)?d（常数）， （小前提） ∴通项公式为an?c?dn的数列是等差数列． （结论） 9．证：过点D作DE∥AB，交BC于点E．
∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形． （大前提） 又∵四边形ABED中DE∥AB，AD∥BE， （小前提） ∴四边形ABED是平行四边形． （结论） ∵平行四边形的对边相等． （大前提） 又∵四边形ABED是平行四边形， （小前提） ∴AB＝DE． （结论） ∵两直线平行，同位角相等． （大前提） 又∵AB∥DE， （小前提） ∴∠DEC＝∠B． （结论） ∵两个角若分别和第三个角相等，那么这两个角相等． （大前提） 又∵∠B＝∠C，∠DEC＝∠B （小前提） ∴∠DEC＝∠C． （结论） ∵三角形中等角对等边． （大前提） 又∵△DEC中有∠DEC＝∠C， （小前提） ∴DE＝DC． （结论） ∵两条线段若分别和第三条相等，那么这两线段相等． （大前提） 又∵AB＝DE，DE＝DC （小前提） ∴AB=DC． （结论）
10．证：函数y?f(x)若满足：在给定区间内任取自变量的两个值x1、x2，若x1＜x2，则有
f(x1)＜f(x2)，则y?f(x)在该给定区间内是增函数． （大前提）
任取x1、x2∈（－∞，1］，且x1＜x2，则
2
f(x1)－f(x2)＝（－x1+2x1）－（－x22+2x2）＝（x2－x1）（x1+x2－2） 又∵x1＜x2≤1，∴x2－x1＞0，x1+x2＜2，即x1+x2－2＜0， ∴f(x1)－f(x2)＝（x1－x2）（2－（x1+x2））＜0，即f(x1) ＜f(x2) ． （小前提） ∴函数f(x)=－x2+2x在［1，+∞］上是减函数． （结论）
11．证：任取x1、x2∈［1，+∞］，且x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝（－x12+2x1）－（－x22+2x2）＝（x1－x2）（2－（x1+x2）） 又∵1≤x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1+x2＞2，即2－（x1+x2）＜0， ∴f(x1)－f(x2)＝（x1－x2）（2－（x1+x2））＞0，即f(x1)＞f(x2) ．
2
∴函数f(x)=－x+2x在［1，+∞］上是减函数． 12．证：∵a+b=1，且a＞0,b＞0,
11111a?b?11??a?ba?b???????2????2???ababababb??ab??a
ba?ba??ba??2?2????4?2????4?2?2??4?4?8
ab?ab??ab?