发布时间 : 星期五 文章2017-2018学年高中数学三角函数1.2.1第一课时三角函数的定义与公式一学案新人教A版更新完毕开始阅读921121395b0102020740be1e650e52ea5518cebc
第一课时 三角函数的定义与公式一
预习课本P11～15，思考并完成以下问题 (1)任意角的三角函数的定义是什么？
(2)三角函数值的大小与其终边上的点P的位置是否有关？
(3)如何求三角函数的定义域？
(4)如何判断三角函数值在各象限内的符号？
(5)诱导公式一是什么？
[新知初探]
1．任意角的三角函数的定义
如图，设α是一个任意角，前提 它的终边与单位圆交于点P(x，y) 正弦 余弦 y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x yy叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝xx(x≠0) 定义 正切 三角 函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数 [点睛] 三角函数也是函数，都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标(坐标的比值)
为函数值的函数；三角函数值只与角α的大小有关，即由角α的终边位置决定．
2．三角函数值的符号 如图所示：
正弦：一二象限正，三四象限负； 余弦：一四象限正，二三象限负； 正切：一三象限正，二四象限负．
简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
3．诱导公式一
即终边相同的角的同一三角函数值相等．
[点睛] 诱导公式一的实质是：终边相同的角，其同名三角函数的值相等．因为这些角的终边都是同一条射线，根据三角函数的定义可知这些角的三角函数值相等．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若α＝β＋720°，则cos α＝cos β.( ) (2)若sin α＝sin β，则α＝β.( )
(3)已知α是三角形的内角，则必有sin α>0.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√
2．若sin α<0，tan α>0，则α在( ) A．第一象限 C．第三象限 答案：C
3．已知角α的终边与单位圆的交点P?A．5 5
25??5
，－?，则sin α＋cos α＝( )
5??5
5 5B．第二象限 D．第四象限
B．－25C．
525D．－
5
答案：B
π3π
4．sin＝________，cos＝________.
34答案：
32 － 22
三角函数的定义及应用 [典例] 设a<0，角α的终边与单位圆的交点为P(－3a,4a)，那么sin α＋2cos α的值等于( )
2
A． 51C． 5
2B．－ 51D．－ 5
[解析] ∵点P在单位圆上，则|OP|＝1. 即
－3a2＋a21
＝1，解得a＝±.
5
1
∵a<0，∴a＝－. 54??3
∴P点的坐标为?，－?.
5??543
∴sin α＝－，cos α＝. 55432
∴sin α＋2cos α＝－＋2×＝. 555[答案] A
利用三角函数的定义求值的策略 (1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种： 法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值． 法二：在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sin α＝，cos α＝.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便． (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． [活学活用] yrxr
1．如果α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，那么sin α的值等于( ) 1A． 2C．－3 2
1B．－ 2D．－3 3
解析：选C 由题意知P(1，－3)， 所以r＝ 1＋－3所以sin α＝－
3. 2
2
2
＝2，
5
2．已知角α的终边过点P(12，a)，且tan α＝，求sin α＋cos α的值．
12
a5
解：根据三角函数的定义，tan α＝＝，
1212
∴a＝5，∴P(12,5)．这时r＝13，
51217
∴sin α＝，cos α＝，从而sin α＋cos α＝. 131313
三角函数值符号的运用 [典例] (1)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定位于( ) A．第一象限 C．第三象限
B．第二象限 D．第四象限
αα?α?(2)设α是第三象限角，且?cos?＝－cos，则所在象限是( )
2?22?A．第一象限 C．第三象限
B．第二象限 D．第四象限
[解析] (1)由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．
(2)∵α是第三象限角，
3π
∴2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z.
2πα3π