发布时间 : 星期日 文章概率考试复习大纲12.21更新完毕开始阅读923bb8c94a7302768f993995
(2)E(Y)??
2??????yfY(y)dy??y?1dy?0211121yfY(y)dy??y2?1dy? ??03111D(Y)?E(Y2)?[E(Y)]2???3412E(Y)??
8. 设连续型随机变量X的分布函数为F(x)?a?barctanx(???x???), 求常数a,b以及随机变
量X的密度函数. 解：(1)因为
?0?F(??)?a?b(?)12,b? ，所以a?1 2??1?F(??)?a?b()21(2) f(x)?F?(x)? 2?(1?x)?0.6e?0.6x,x?0,9. 设某种类型人造卫星的寿命X(单位: 年)的密度函数为f(x)??,若3颗这样的
x?0.?0,卫星同时升空投入使用, 试求:(1) 2年后这3颗卫星都正常运行的概率; (2) 2年后至少有1颗卫
星正常运行的概率.
解：设p为2年后卫星正常运行的概率，Y表示2年后3颗卫星中正常运行的卫星颗数 则Y~B(3,p)，
p?P{X?2}??3??2f(x)dx??0.6e?0.6xdx??e?0.6x2????2?e?1.2
(1) P{Y?3}?p?(e?1.23)?e?3.6
?1.23(2) P{Y?1}?1?(1?p)?1?(1?e3)
10. 设随机变量X的密度函数为f(x)?ce?|x|,???x???,求：(1)常数c；(2) 分布函数F(x);（3）X
落入区间(-1,1)的概率. 解：(1) 1??????????f(x)dx??ce?|x|dx?2?ce?xdx??2ce?x??0x??0?2c
c=1/2
(2)x?0，F(x)?P{X?x}??x11?|x|1edx??exdx?ex??2??22
x101x11x?0,F(x)?P{X?x}??e?|x|dx??exdx??e?xdx?1?e?x??2??2022(3)P{?1?X?1}??f(x)dx??cedx?2??1?111?|x|1?xedx??e?x02110?1?e?1
第三章 二维随机变量
1、 二维离散型随机变量
(1) 会写出联合分布列
(2) 会根据联合分布列求出边缘分布，并判断独立性
~ 5 ~
(1) (2) (3) (4)
(3) 会求E(XY)，会计算协方差 (4) 会求函数的分布，如Z=X+2Y 2、 二维连续型随机变量
会求联合密度函数（如待定系数的求解），尤其是二维均匀分布的联合密度函数f(x,y) 会根据联合密度函数求边缘密度函数，并判断独立性 会求E(XY)，会计算协方差
会求简单函数的分布，如Z=X+2Y
第三章
1. 将两封信随意地投入3个空邮筒，设X、Y分别表示第1、第2个邮筒中信的数量，求 (1)X与Y的联合概率分布，
(2)求出第3个邮筒里至少投入一封信的概率. (3)求其边缘分布.
2. 一口袋中装有四个球，标号分别为1,2,2,3，从中先后任取两个球，取后不放回，第一次取得的球标号记为X，第二次取得的球标号记为Y．试求出(X,Y)的联合分布列．
3. 设二维随机变量(X，Y)的密度函数为
0?y?1?Cxy，0?x?1， f(x，y)??0，otherwise?求：(1) 常数C，(2)P{X?Y?1}，(3)P{X?Y}.
4．设随机变量(X,Y)的密度函数为
?8xy，0?x?y?1 f(x，y)??0，其它?试求X和Y的边缘密度，判断随机变量X、Y是否相互独立？
5．设(X,Y)服从区域D上的均匀分布，D是由y?x?1，x轴、y轴围成的区域，求:（1）(X,Y)的联合密
度函数；（2）概率P?（3）(X,Y)的联合分布函数． Y??X?；历年试题
1、 盒中有3只黑球，2只红球，2只白球，从中任取4只，以X表示取到的黑球数，Y表示取到的红球数，求（X,Y）的联合分布列和边缘分布列，并判断X与Y是否独立，为什么？
解：(1)
Y X 0 1 2 3 0 0 3/35 2/35 0 6/35 12/35 2/35 1/35 6/35 3/35 0 0 1 2 (2)（X,Y）关于X的边缘分布列 X 0 1 2 3 P 1/35 12/35 18/35 4/35 （X,Y）关于Y的边缘分布列
Y 0 1 2 P 5/35 20/35 10/35
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(3) 因为 P?X?0}?P{Y?0??所以，X,Y不相互独立.
15??P?X?0,Y?0??0 35352、 设随机变量X,Y相互独立,且同分布, P{X??1}?P{X?1}?0.5, P{Y??1}?P{Y?1}?0.5, 则P{X?Y}?.0.5
3、 已知X,Y是具有相同分布的两个独立随机变量, 且P(X??1)?P(Y??1)?1P(X?0)?P(Y?0)?, 则P(X?Y)?. 0.5
21, 2?1,当X?Y为偶数,4、 设X,Y相互独立,且P(X?1)?P(Y?1)?p?0, P(X?0)?P(Y?0)?1?p?0, 令Z???0,当X?Y为奇数,求Z的分布律. 解：
P{Z?1}?P{X?0,Y?0}?P{X?1,Y?1}?(1?p)2?p2P{Z?0}?P{X?1,Y?0}?P{X?0,Y?1}?2p(1?p)
?3x?,0?x?1,?x?y?x,f(x,y)?5、 设随机向量(X,Y)的联合概率密度函数为,求X,Y的边缘?2?其他，?0,概率密度函数.
解：0?x?1时，fX(x)??????f(x,y)dy???x?x3xdy?3x2 2?3x2,0?x?1所以，X的边缘概率密度函数fX(x)??
其他?0,-1?y?0时，fY(y)??0?y?1时，fY(y)??????3x3dx?(1?y2)
???y2413x3f(x,y)dx??dx?(1?y2)
y24??f(x,y)dx??1?32?(1?y),?1?y?1所以，Y的边缘概率密度函数fY(y)??4
?其他?0,?1,第i次取出红球,i?1,2.在不放回6、 从只含3红, 4白两种颜色的球袋中逐次取一球, 令Xi???0,第i次取出白球，模式下求X1,X2的联合分布律, 并考虑独立性(要说明原因). 解：(1)联合分布律 X2 X1 0 1
0 2/7 2/7 1 2/7 1/7 ~ 7 ~
(2)关于X1的边缘分布列
X1 0 1 P 4/7 3/7 关于X2的边缘分布列
X2 0 1 P 4/7 3/7
第四章 数字特征
1、 数学期望
??xkP?X?xk? (离散型) ，??k(1) 期望的定义E(X)???
??xf(x)dx (连续型) ， ????(2) 期望的性质（4条）
E(c)?c；E(cX)?cE(X);E(X?Y)?E(X)?E(Y); 设X,Y相互独立，则E(XY)?E(X)?E(Y). (3) 常用分布的期望（6种） (4) 函数的期望计算
??g?xk?P?X?xk? (离散型) ；??k E(Y)?E[g(X)]?????g(x)f(x)dx （连续型） ．??－????g?xi,yj?P?X?xi,Y?yj? ?离散型?；??ij E(Z)?E[g?X,Y?]????? ??g?x,y?f?x,y?dxdy ?连续型? ．??????2、 方差
(1) 方差的定义D(X)?E[(X(2) 方差的性质
?E(X))2]，D(X)?E(X2)?(E(X))2
D(c)?0；D(cX)?cD(X);
2X1,X2,?,Xn独立，则D?X1?X2???Xn??D(X1)?D(X2)???D(Xn)．
(3) 常用分布的方差（6种） 3、 掌握协方差、相关系数定义：
Cov(X,Y)=E[(X?EX)(Y?EY)]；?XY??Cov(X,Y)D(X)D(Y)
对于任意X和Y，有D(X?Y)?DX?DY?2cov(X,Y)．
第四章 随机变量的数字特征
1. 设二维随机变量(X ，Y)的联合分布为
Y pi0 1 2 3 X 1 0 3/8 3/8 0 3 1/8 0 0 1/8 ?pj ? 求EX 、EXY和DX.
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