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等差数列前n项和的公式及其应用
四川重庆市兼善中学 唐霞宾
作者简历
唐霞宾 四川开县人，1961年毕业于西南师范学院数学系，同年任重庆市兼善中学数学教师，1987年被评为四川省中学高级教师，1989年被评为全国优秀教师．现任重庆市兼善中学数学教师，重庆市北碚区数学中心教研组组长． 教学目的
(1)使学生掌握求等差数列前n项和的公式及其推导过程； (2)使学生初步掌握公式的应用，培养学生的解题能力． 教学过程
师：我们已经熟悉了等差数列的通项公式(板书)an=a1＋(n－1)d(n∈N)及由此推出的性质(板书)a1＋an=a2＋an-1=a3＋an-2=…．
[复习一下旧知识，为下面推导出公式Sn作准备．]
师：今天我们首先研究的问题是，探索已知等差数列的首项a1，项数n，第n项an，求它的前n项和Sn的计算公式．
为了得出Sn的计算公式，我们先看一个具体例子． (出示小黑板，并画出下面图形的一半．)
图表示堆放的钢管，共堆放了8层，自上而下各层的钢管数组成等差数列：
4，5，6，7，8，9，10，11．
求钢管的总数，即求和：
S8=4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11．
师：当然，我们可以用连加法把它算出来，但是，根据等差数列的性质，同学们能发现更有趣的算法吗？
生：考虑到4＋11=5＋10=6＋9=7＋8=15，共有4个15，所以S8=4×15=60． 师：对！同学们发现了4＋11=5＋10=6＋9=7＋8这个特点．如果倒过来写：8＋7=9＋6=10＋5=11＋4，也等于15，这是什么意思呢？这就相当于在这堆钢管旁边倒放着同样一堆钢管．
(教师边讲边用红颜色粉笔画出上图虚圆．)
这样，每层的钢管数都相等，都为15．用数学式子表示这一过程是：(板书) S8=4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11， S8=11＋10＋9＋8＋7＋6＋5＋4， 两式相加，得
2S8=(4+11)+(5+10)+(6+9)+(7+8)+(8+7)+(9+6)+(10+5)+(11+4) =8×(4+11)，
师：刚才求和的方法不仅对于项数是偶数的等差数列适用，同时对于项数是奇数的等差数列也适用．例如，
(教师先擦去图中的底层和最右边的一斜行，再计算出S7．)
师：通过这个具体例子的讨论，再来解决一开始提出的问题：寻求Sn的计算公式就不难了．请同学们自己推导Sn的计算公式． 生：Sn=a1＋a2＋…＋an-1＋an， Sn=an＋an-1＋…＋a2＋a1， 两式相加，得
2Sn=(a1＋an)＋(a2＋an-1)＋…＋(an-1＋a2)＋(an＋a1)． ∵a1＋an=a2＋an-1=…，
(Ⅰ)
[这个公式的推导过程，体现了从特殊到一般的认识过程．]
师：如果已知等差数列的首项为a1，公差为d，项数为n，由an=a1＋(n－1)d，就得到等差数列的前n项和的另一个公式：(板书)
(Ⅱ)
师：公式(Ⅰ)是基本的．我们可以发现，它可与梯形面积公式(上底＋下底)×高÷2相类比．这里的上底是等差数列的首项a1，下底是第n项an，高是项数n．我国古代数学家常用这种类比方法，来推出等差数列的求和公式．
在等差数列的通项公式及前n项和的公式中，共有五个元素，即a1、d、n、an、Sn．一般说来，只要知道了其中的三个元素，通过解方程或方程组就可以求出其余两个元素． [指出这一点，可以理顺应用公式解题的思路，但不要绝对化，否则，对于下面的例3、例4学生就束手无策了．]
师：下面我们举例说明公式(Ⅰ)和(Ⅱ)的一些应用．(板书例题．) [例1] 口答下列各题：
(1)1＋2＋3＋…＋99＋100=？(答：5050．)
(3)求自然数列中前n个奇数的和．(答：Sn=n2．) (4)求自然数列中前n个偶数的和．(答：Sn=n(n＋1)．)
[因为(2)、(3)、(4)的结果以后常用，所以应使学生熟练掌握．] [例2] (出示小黑板．)
(1)在a、b之间插入10个数，使它们同这两个数成等差数列．求这10个数的和． (2)求集合M=｛m|m=7n，n∈N，且m＜100｝的元素个数，并求这些元素的和． (3)在凸多边形中，已知它的内角度数组成公差为5°的等差数列，且最小角为120°．问它是几边形？
[上例中的3个小题贯彻由浅入深的原则，体现等差数列中公式的实际应用．] 师：第(1)题，设插入的10个数依次为x1，x2，…，x10，则a，x1，x2，…，x10，b组成等差数列．
令S=x1＋x2＋…＋x10怎样算？
师：对的！还有另外的解法吗？ 生：有．因为x1＋x10=a＋b，所以