发布时间 : 星期一 文章1987-2011年考研数学一历年真题更新完毕开始阅读92c0738dd0d233d4b14e695f
1987年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)当x=_____________时,函数y?x?2x取得极小值.
(2)由曲线y?lnx与两直线y?e?1?x及y?0所围成的平面图形的面积是_____________.
x?1
x?11y?21z?11(3)与两直线 y??1?t及_____________.
z?2?t
??都平行且过原点的平面方程为
(4)设L为取正向的圆周x2?y2?9,则曲线积分_____________.
??L(2xy?2y)dx?(x?4x)dy=
20),?(5)已知三维向量空间的基底为α1?(1,1,α2(1α,0,?1),30,量1,1),则(向
_____________. β?(2,0,在此基底下的坐标是0
二、(本题满分8分) 求正的常数a与b,使等式lim
三、(本题满分7分)
(1)设f、g为连续可微函数,u?f(x,xy),v?g(x?xy),求?3?(2)设矩阵A和B满足关系式AB=A?2B,其中A?1???0011?u?v,. ?x?x22x?0?bx?sinx1x0tdt?1成立.
a?t1??0,求矩阵B. ?4??
四、(本题满分8分)
2求微分方程y????6y???(9?a)y??1的通解,其中常数a?0.
五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符
合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设limf(x)?f(a)(x?a)2x?a??1,则在x?a处
(A)f(x)的导数存在,且f?(a)?0 (C)f(x)取得极小值
s
(B)f(x)取得极大值 (D)f(x)的导数不存在
(2)设f(x)为已知连续函数,I?t?tf(tx)dx,其中t?0,s?0,则I的值
0(A)依赖于s和t
(B)依赖于s、t和x (D)依赖于s,不依赖于t
(C)依赖于t、x,不依赖于s
?(3)设常数k?0,则级数?(?1)nn?1k?nn2(A)发散 (C)条件收敛
(B)绝对收敛
(D)散敛性与k的取值有关
(4)设A为n阶方阵，且A的行列式|A|?a?0,而A*是A的伴随矩阵，则|A*|等于 (A)a
(B)
1a
(C)an?1 (D)an
六、（本题满分10分）
?求幂级数?n?11n?2nxn?1的收敛域，并求其和函数.
七、（本题满分10分） 求曲面积分
I???x(8y?1)dydz?2(1?y?2)dzdx?4yzdxdy,
??z?其中?是由曲线f(x)????轴正向的夹角恒大于
八、（本题满分10分）
?2.
y?1 1?y?3x?0绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间
(0,1)内,且f?(x)?1,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)?x.
九、（本题满分8分） 问a,b为何值时,现线性方程组
x1?x2?x3?x4?0x2?2x3?2x4?1?x2?(a?3)x3?2x4?b3x1?2x2?x3?ax4??1
有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.
十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)设在一次实验中,事件A发生的概率为p,现进行n次独立试验,则A至少发生一次的概率为____________;而事件A至多发生一次的概率为____________.
(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________.
(3)已知连续随机变量X的概率密度函数为f(x)?____________,X的方差为____________.
十一、（本题满分6分）
设随机变量X,Y相互独立,其概率密度函数分别为
10?x?1e0?y1?e?x?2x?12,则X的数学期望为
fX(x)?
0其它,fY(y)?
y?0y?0,
求Z?2X?Y的概率密度函数.
1988年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
?(1)求幂级数?n?1(x?3)n32nn的收敛域.
(2)设f(x)?e,f[?(x)]?1?x且?(x)?0,求?(x)及其定义域. (3)设
?x为曲面x?2y?2z1?的外侧,
2计算曲面积分
I?????xdydz?ydzdx?zdxdy.
333
二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上) (1)若f(t)?limt(1?x??31x)2tx,则f?(t)= _____________.
(2)设f(x)连续且?x?10f(t)dt?x,则f(7)=_____________.
(3)设周期为2的周期函数,它在区间(?1,1]上定义为f(x)?
2x2
?1?x?00?x?1,则的傅里
叶(Fourier)级数在x?1处收敛于_____________.
(4)设4阶矩阵A?[α,γ2,γ3,γ4],B?[β,γ2,γ3,γ4],其中α,β,γ2,γ3,γ4均为4维列向量,且已知行列式A?4,B?1,则行列式A?B= _____________.
三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设f(x)可导且f?(x0)?(A)与?x等价的无穷小 (C)比?x低阶的无穷小
12,则?x?0时,f(x)在x0处的微分dy是
(B)与?x同阶的无穷小 (D)比?x高阶的无穷小
(2)设y?f(x)是方程y???2y??4y?0的一个解且f(x0)?0,f?(x0)?0,则函数
f(x)在点x0处
(A)取得极大值 (C)某邻域内单调增加 (B)取得极小值 (D)某邻域内单调减少
22222222(3)设空间区域?1:x?y?z?R,z?0,?2:x?y?z?R,x?0,y?0,z?0,则
(A)???xdv?4???dv
?1?2
(B)???ydv?4???ydv
?1?2
(C)???zdv?4???zdv
?1?2(D)???xyzdv?4???xyzdv
?1?2?(4)设幂级数?an(x?1)n在x??1处收敛,则此级数在x?2处
n?1(A)条件收敛 (C)发散
(B)绝对收敛 (D)收敛性不能确定
(5)n维向量组α1,α2,?,αs(3?s?n)线性无关的充要条件是