人教版八年级数学下册单元测试《第18章平行四边形》(b卷)(解析版) 联系客服

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【考点】正方形的判定;三角形中位线定理;平行四边形的判定. 【专题】证明题.

【分析】通过中位线定理得出GF∥EH且GF=EH,所以四边形EGFH是平行四边形;当添加了条件EF⊥BC,且EF=BC后,通过对角线相等且互相垂直平分(EF⊥GH,且EF=GH)就可证明是正方形.

【解答】证明:(1)∵G,F分别是BE,BC的中点, ∴GF∥EC且GF=EC.

又∵H是EC的中点,EH=EC, ∴GF∥EH且GF=EH.

∴四边形EGFH是平行四边形.

(2)连接GH,EF.

∵G,H分别是BE,EC的中点, ∴GH∥BC且GH=BC. 又∵EF⊥BC且EF=BC,

又∵EF⊥BC,GH是三角形EBC的中位线, ∴GH∥BC, ∴EF⊥GH, 又∵EF=GH.

∴平行四边形EGFH是正方形.

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【点评】主要考查了平行四边形的判定和正方形的性质.正方形对角线的特点是:对角线互相垂直;对角线相等且互相平分;每条对角线平分一组对角.

26.将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠,使点C与A重合,点D落到D′处,折痕为EF.

(1)求证:△ABE≌△AD′F;

(2)连接CF,判断四边形AECF是什么特殊四边形?证明你的结论.

【考点】全等三角形的判定;菱形的判定. 【专题】几何综合题.

【分析】(1)根据平行四边形的性质及折叠的性质我们可以得到∠B=∠D′,AB=AD′,∠1=∠3,从而利用ASA判定△ABE≌△AD′F;

(2)四边形AECF是菱形,我们可以运用菱形的判定,有一组邻边相等的平行四边形是菱形来进行验证.

【解答】(1)证明:由折叠可知:∠D=∠D′,CD=AD′, ∠C=∠D′AE.

∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠B=∠D,AB=CD,∠C=∠BAD. ∴∠B=∠D′,AB=AD′,∠D′AE=∠BAD, 即∠1+∠2=∠2+∠3. ∴∠1=∠3. 在△ABE和△AD′F中 ∵

∴△ABE≌△AD′F(ASA).

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(2)解:四边形AECF是菱形. 证明:由折叠可知:AE=EC,∠4=∠5. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC. ∴∠5=∠6. ∴∠4=∠6. ∴AF=AE. ∵AE=EC, ∴AF=EC. 又∵AF∥EC,

∴四边形AECF是平行四边形. 又∵AF=AE,

∴平行四边形AECF是菱形.

【点评】此题考查了全等三角形的判定及菱形的判定方法,做题时要求学生对常用的知识点牢固掌握.

27.如图,四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE,CG. (1)求证:AE=CG;

(2)观察图形,猜想AE与CG之间的位置关系,并证明你的猜想.

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【考点】全等三角形的判定与性质;正方形的性质. 【专题】几何综合题.

【分析】可以把结论涉及的线段放到△ADE和△CDG中,考虑证明全等的条件,又有两个正方形,∴AD=CD,DE=DG,它们的夹角都是∠ADG加上直角,故夹角相等,可以证明全等;再利用互余关系可以证明AE⊥CG. 【解答】(1)证明:如图,

∵AD=CD,DE=DG,∠ADC=∠GDE=90°, 又∵∠CDG=90°+∠ADG=∠ADE, ∴△ADE≌△CDG(SAS). ∴AE=CG.

(2)猜想:AE⊥CG.

证明:如图,设AE与CG交点为M,AD与CG交点为N. ∵△ADE≌△CDG, ∴∠DAE=∠DCG. 又∵∠ANM=∠CND, ∴△AMN∽△CDN. ∴∠AMN=∠ADC=90°. ∴AE⊥CG.

【点评】本题可围绕结论寻找全等三角形,根据正方形的性质找全等的条件,运用全等三角形的性质判定线段相等,垂直关系.

28.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点E, (1)求证:四边形ADCE为矩形;

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