发布时间 : 星期一 文章2007-2008学年第一学期《随机数学(A)》期末考试试卷_A_答案更新完毕开始阅读93a30d170b4e767f5acfceea
则P(Xi?0)?()，P(Xi?1)?1?()(i?1,2.....9) …4 于是交通车停车总次数X为X?9989258925?XI?19i所以
EX?
825EX?P(X?1)?9[1?()] …4 ??ii9I?1I?1七．（本题满分8分）
?e?y, 设(X,Y)的密度函数为f(x,y)???0,y?x?0其它。
求: ⑴X,Y的边缘密度函数; ⑵ (X,Y)的条件密度函数; (3) P(X?2Y?4)。 解：（1）当x?0，
?X(x)???(x,y)dy??e?ydy?e?x …2
??x?????e?x,x?0所以 ?X(x)?? 同理有
0,其他?y?y?y???0edx?ye,y?0 ?Y(y)???(x,y)dx?? ….2
????0,其他???(x,y)?ex?y,y?x?0??(2) ?(yx)?
?X(x)?0,其他?(x,y)?,y?x?0 ?(xy)? …2 ??y?Y(y)??0,其他(3) P(X?2Y?4)??ye??dxdy?1P(X?2,Y?4)
P(Y?4)44?y?2?4?DABCy?4??Y(y)dx?edye?3e???1?5e?yedy2x4?y0?4 …2
八．（本题满分8分）
某螺丝厂的废品率为0.01，问一盒中应装多少只螺丝钉才能使其中至少含有100个合格品的概率不小
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于95%？
附表：标准正态分布的分布函数??x?的表
x ??x?
0.00 0.500 0.69 0.755 1.65 0.950 1.96 0.975 2.31 0.990 3.62 0.999 ?1,若第n个螺丝钉是合格品解：令Xn?? 则Xn，n?1独立同分布，且p?p(Xn?1)?0.99
?0，其他情况 令Sn?X1?X2?......?Xn 我们要求n使得p{由中心极限定理，
Sn?np100?np?}?0.05??(?1.65)…4
np(1?p)np(1?p)100?np??1.65np(1?p) n?0.1658n?101.01?0,
n?10.1336,n?102.69 所以，每盒中至少应装103个螺丝钉。 …4
九．（本题满分8分）
为了解灯泡使用时数的均值?及标准差?，测量10个灯泡，得x=1500小时，S=20小时，如果已知灯泡的使用时数服从正态分布，求?和?的95%的置信区间．
解：（1）未知方差求?的置信区间，??0.05，已知x=1500，S=20，n?10由附表查得
t?(n?1)?t0.025(9)?2.262,?的95%的置信区间为
2s2s2(x?t?(n?1),x?t?(n?1)) …2
nn22?(1500?2.262?2020,1500?2.262?) 1010?(1485.69,1514.31) …2
（2）查表得?21??2222(n?1)??0.975(9)?2.700，??(n?1)??0.025(9)?19.023 ?2的置信区间为
2(n?1)s2(n?1)s29?2029?202 (2,2)?(,)?(189.24,1333.33) …2
??(n?1)??(n?1)19.0232.70021?2第 6 页 共 11 页
(n?1)s2(n?1)s29?2029?202,)?(,) …2 (22??(n?1)??(n?1)19.0232.70021?2
十．附加题（本题满分8分）
设X1，X2，… ,Xn 是总体N?0,?2?的样本，X，S2分别是样本均值和样本方差．证明：
1)
(n?1)S2?2服从?2(n?1)；
2) X与S独立．
2证明：（1）.
(n?1)S2?2??(Xi?X)??Xi?nX 取一N阶正交矩阵A?(aij)，其中第一行
2i?1i?1n2n2?Y1??X1??Y??X?1n22元素为，作正交变换Y?AX，其中Y???,X???由于Yi??j?1aijXj,i?1,2,...n,故Y1,Y2...Yn
?..??..?n????Y?n??Xn?仍为正态变量，由Xi~N(0,1),i?1,2,...,n知 E(Yi)?E(?nj?1ijaXj)??aijE(Xj)?0 又由cov(Xi,Xj)??ij,i,j?1,2,...,n知
j?1ncov(Yi,Yk)?cov(?j?1aijXj,?l?1aklXl)??aijakj??ikj?1nnn 故Y1,Y2...Yn两两不相关，又由于N
维随机变量(Y1,Y2...Yn)是有N维正态随机变量（X1，X2，… ,Xn）经由线性变换而得到的，因此，
(Y1,Y2...Yn)也是N维正态随机变量，于是由Y1,Y2...Yn两两不相关可得Y1,Y2...Yn相互独立，且有
Yi~N(0,1),i?1,2,2,...,n而Yi??j?1aijXj??j?1nn1Xj?nX n
?Yi?1n2i?YY?(AX)(AX)?XX??Xi2 于是
'''i?1n
(n?1)S2?2??Xi?nX??Yi?Y??Yi2由于Y1,Y2...Yn相互独立，且
2221i?1i?1i?2n2nn第 7 页 共 11 页
Yi~N(0,1),i?2,3,...,n，知?Yi~?(n?1)，从而得证
22i?2n(n?1)S2?2服从?2(n?1)
1?2n22 （2）X?Y1仅依赖于Y1，而S?Yi仅依赖于Y2,Y3...Yn，再由Y1,Y2...Yn的独立性，?(n?1)i?2n推知X与S独立。
十一．（本题满分8分）
某装置的平均工作温度据厂商称不高于190度，今从一个由16台装置构成的随机样本测得工作温度的平均值和标准差分别为195度和8度，根据这些数据能否说明平均温度比厂商所说的要高？设??0.05，并假定工作温度近似服从正态分布．
解：设工作温度为X，由题设X~N(?,?2)，考虑假设：
H0:??190,H1:??190 由于总体方差?未知，故用t检验。 …2 这里n?16,??n?1?15，对给定的??0.05，查t分布表，得 t?,(v)?t0.05,(15)22 ，于是，假设H0的否定域为v??t?1.75?。由条件和H0知 …2 ?1.75??190,X?195,s?8,因此 t?195?190?2.5 …2
8/16由于t?2.5?1.75，所以拒绝假设H0，说明平均工作温度比制造厂商所说的要高 …2
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