发布时间 : 星期日 文章空间向量在立体几何中的应用知识点大全经典高考题带解析练习题带答案更新完毕开始阅读93cd8aa35dbfc77da26925c52cc58bd6318693d9
空间向量在立体几何中的应用
【考纲说明】
1. 能够利用共线向量、共面向量、空间向量基本定理证明共线、共面、平行及垂直问题； 2. 会利用空间向量的坐标运算、两点间的距离公式、夹角公式等解决平行、垂直、长度、角、距离等问题; 3. 培养用向量的相关知识思考问题和解决问题的能力；- t
t
【知识梳理】 一、空间向量的运算
1、向量的几何运算
(1)向量的数量积: 叫做 的数量积，记作 ，即 已知向量 ，则
ab |5|
| cos
. 空间向量数量积的性质：①
；
1 ②
③ 0卜越.
(2)向量共线定理：向量：a 21乳0，与'b共线；当且仅当有唯一一个实数■'二使b =
2、向量的坐标运算
1
(1)若 * ；〔 ■ Y ； ■' '_ ‘ . 1 ；则二
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
a e~ a cos
: :- L' - I ;
.
(2)若
； ，则
加 二(稠皿?込久朕
a-b = {al-blta2-b2tai-b3)
R)
1
“ '''「呷 _ \沁込 f 記 J] /_ I 〒?：厂—； 一；丄 J 一 一:—，「- 右」-II；
I可二JH二內+毎+左
(3)夹角公式:
(4)两点间的距离公式：若
，则
二、空间向量在立体几何中的应用 2.利用空间向量证明平行问题
对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明. 3.利用空间向量证明垂直问题
对于垂直问题，一般是利用 4.利用空间向量求角度 一;
(1)线线角的求法：
设直线ABCD对应的方向向量分别为
(2)线面角的求法: 「山是直线 设n是平面二的法向量,
arcsm
\\ABn
iWn
Z-0
a、b,则直线AB与CD所成的角为
(线线角的范围[0 0,90 0])
a
所成的角为
(3)二面角的求法：
设n, n2分别是二面角 其补角的大小(如图)
cos 5.利用空间向量求距离
的两个面，的法向量，则
就是二面角的平面角或
a-b _
|可丨纠
甘
亦禹+禺鸟+他鸟 +打十辱2 J閉+好十
(1)平面的法向量的求法:
2
设n=（x,y,z），利用n与平面内的两个不共线的向 其一组解，即得到平面 二的一个法向量（如图）。
a, b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取
\\Xs-n & = ----
用I
H = ------
|?| # = -------
（2）利用法向量求空间距离
，其中=
是平面住的法向量。
（b）直线」与平面二之间的距离:
，其中孟密二是平面总的法向量。
（c）两平行平面金；之间的距离:
，其中是平面二的法向量。
a
（a）点A到平面住的距离：
【经典例题】
【例1】（2010全国卷1理）正方体 ABCD-ABCi
1所成角的余弦值为（
）
（
A
）
T
（）（）
B
c
【解析】D
【例2】（2010全国卷2文）已知三棱锥 S-ABC中，底面 ABC为边长等于2的等边 三角形，
SA垂直于底面 ABC，SA=3,那么直线 AB与平面SBC所成角的正弦值为
A
(A) 3 (B)
4
【解析】D
2012全国卷)三棱柱 【例
3】
【解
析】
5 4
(C)
工(D)
3 4
4
ABC -A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，
线AB1与BC1所成角的余弦值为 ______________
'?
一
6 6
【例4】(2012重庆)如图，在直三棱柱 ABC-ABQ中，AB=4,
求异面直线 CC和AB的距离; 若 AB丄AC,求二面角 A—CD— B的平面角的余弦值。
【解
析】
【例5】(2012江苏)如图，在直三棱柱 ABC -ABG 中,
AC=BC=3 D为AB的中点。
(I)(H)
D不同
于点C),且AD丄DE , F为B1C1的中点.
求证: (1)平面 ADE _平面 BCC1B1;
(2)直线AF //平面ADE
【例6】 (2012山东)在如图所示的几何体中，四边形
AE丄 CB=CD=CF BD,
B
ABCD是等腰梯形，AB// CD / DAB=60 , FC丄平面
ABCD
求证：BD丄平面AED 求二面角 F-BD-C的余弦值.
错误！未指定书签。
【解析】二面角
F-BD-C的余弦值为三.
(I)(H)
4