发布时间 : 星期三 文章2014届高三数学（理）（ 江苏专用）《大二轮专题复习与增分策略》专题三 第1讲更新完毕开始阅读93faab0d01f69e314232947c
第1讲 等差数列、等比数列
【高考考情解读】 高考对本讲知识的考查主要是以下两种形式：1.以填空题的形式考查，主要利用等差、等比数列的通项公式、前n项和公式及其性质解决与项、和有关的计算问题，属于基础题；2.以解答题的形式考查，主要是等差、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及其性质等知识交汇综合命题，考查用数列知识分析问题、解决问题的能力，属低、中档题．
??S1， n＝1，1． an与Sn的关系Sn＝a1＋a2＋?＋an，an＝?
??Sn－Sn－1， n≥2.
2． 等差数列和等比数列
定义 通项公式 (1)定义法 (2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n≥1)?{an}为等差数列 (3)通项公式法：an＝pn＋q(p、q为常数)判定方法 ?{an}为等差数列 (4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)?{an}为等差数列 (5){an}为等比数列，an>0?{logaan}为等差数列 等差数列 an－an－1＝常数(n≥2) an＝a1＋(n－1)d 等比数列 an＝常数(n≥2) an－1an＝a1qn1(q≠0) －(1)定义法 (2)中项公式法：a2an＋2 n＋1＝an·(n≥1)(an≠0) ?{an}为等比数列 (3)通项公式法：an＝c·qn(c、q均是不为0的常数，n∈N*)?{an}为等比数列 (4){an}为等差数列?{aan}为等比数列(a>0且a≠1) (1)若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝p＋q，(1)若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝性质 则am＋an＝ap＋aq (2)an＝am＋(n－m)d p＋q，则am·an＝ap·aq (2)an＝amqn－m
(3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，?仍成等差数列 n?a1＋an?n?n－1?Sn＝＝na1＋d 22(3)等比数列依次每n项和(Sn≠0)仍成等比数列 a1?1－qn?a1－anq(1)q≠1，Sn＝＝ 1－q1－q(2)q＝1，Sn＝na1 前n项和
考点一 与等差数列有关的问题
例1 在等差数列{an}中，满足3a5＝5a8，Sn是数列{an}的前n项和．
(1)若a1>0，当Sn取得最大值时，求n的值； Sn－an
(2)若a1＝－46，记bn＝，求bn的最小值．
n解 (1)设{an}的公差为d，则
2
由3a5＝5a8，得3(a1＋4d)＝5(a1＋7d)，∴d＝－a1.
23n?n－1??2?124
∴Sn＝na1＋×?－23a1?＝－a1n2＋a1n
223231144
＝－a1(n－12)2＋a1.
2323
∵a1>0，∴当n＝12时，Sn取得最大值． 2
(2)由(1)及a1＝－46，得d＝－×(－46)＝4，
23∴an＝－46＋(n－1)×4＝4n－50， n?n－1?
Sn＝－46n＋×4＝2n2－48n.
2Sn－an2n2－52n＋50∴bn＝＝ nn50
＝2n＋－52≥2n
50
2n×－52＝－32，
n
50
当且仅当2n＝，即n＝5时，等号成立．
n故bn的最小值为－32.
(1)在等差数列问题中其最基本的量是首项和公差，只要根据已知条件求出这
两个量，其他问题就可随之而解，这就是解决等差数列问题的基本方法，其中蕴含着方程思想的运用． (2)等差数列的性质
①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；
②Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，?，仍成等差数列； am－an③am－an＝(m－n)d?d＝(m，n∈N*)；
m－n
anA2n－1④＝(A，B2n－1分别为{an}，{bn}的前2n－1项的和)． bnB2n－12n－1
(3)数列{an}是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn＝f(n)是n的二次函数或一次函数且不含常数项，即Sn＝An2＋Bn(A2＋B2≠0)．
(1)(2012·浙江改编)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，
则下列命题错误的是________．(填序号) ．．①若d<0，则数列{Sn}有最大项； ②若数列{Sn}有最大项，则d<0；
③若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn>0； ④若对任意n∈N*，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列．
(2)(2013·课标全国Ⅰ改编)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝________. 答案 (1)③ (2)5
dd
a1－?n的单调性判断． 解析 (1)利用函数思想，通过讨论Sn＝n2＋?2??2d1d
a1－?n. 设{an}的首项为a1，则Sn＝na1＋n(n－1)d＝n2＋?2??22由二次函数性质知Sn有最大值时，则d<0，故①②正确；
因为{Sn}为递增数列，则d>0，不妨设a1＝－1，d＝2，显然{Sn}是递增数列，但S1＝－1<0，故③错误；
对任意n∈N*，Sn均大于0时，a1>0，d>0，{Sn}必是递增数列，④正确． (2)am＝2，am＋1＝3，故d＝1， m?m－1?
因为Sm＝0，故ma1＋d＝0，
2m－1
故a1＝－，
2因为am＋am＋1＝5， 故am＋am＋1＝2a1＋(2m－1)d ＝－(m－1)＋2m－1＝5， 即m＝5.
考点二 与等比数列有关的问题
例2 (1)(2012·课标全国改编)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝
________.
(2)(2012·浙江)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________. 3答案 (1)－7 (2) 2
解析 (1)利用等比数列的性质求解．
????a4＋a7＝2，?a4＝－2，?a4＝4，??由解得或? ????a5a6＝a4a7＝－8?a7＝4?a7＝－2.
3???q3＝－2，?q＝－2，∴?或???a1＝1?
1
?a1＝－8，
∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.
(2)利用等比数列的通项公式及前n项和公式求解． S4＝S2＋a3＋a4＝3a2＋2＋a3＋a4＝3a4＋2， 将a3＝a2q，a4＝a2q2代入得，
3a2＋2＋a2q＋a2q2＝3a2q2＋2，化简得2q2－q－3＝0， 3
解得q＝(q＝－1不合题意，舍去)．
2
(1)证明数列是等比数列的两个方法：①利用定义：
*
用等比中项a2n＝an－1an＋1(n≥2，n∈N)．
an＋1
(n∈N*)是常数，②利an
(2)等比数列中的五个量：a1，an，q，n，Sn可以“知三求二”． (3){an}为等比数列，其性质如下：
①若m、n、r、s∈N*，且m＋n＝r＋s，则am·an＝ar·as； ②an＝amqnm；
－
③Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列(q≠－1)． (4)等比数列前n项和公式 na?q＝1?，??1
Sn＝?a1?1－qn?a1－anq
＝?q≠1?.?1－q?1－q
①能“知三求二”；②注意讨论公比q是否为1；③a1≠0.
(2013·湖北)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且
a2＋a3＋a4＝－18.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)是否存在正整数n，使得Sn≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．
解 (1)设等比数列{an}的公比为q，则a1≠0，q≠0.由题意得