发布时间 : 星期三 文章2020版高考数学一轮复习第5章数列第2节等差数列及其前n项和教学案理含解析新人教A版更新完毕开始阅读9415b5301511cc7931b765ce050876323112741d
第二节 等差数列及其前n项和
[考纲传真] 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.
1.等差数列
(1)定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.数学语言表示为an+1-an=d(n∈N),d为常数. (2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是A=
*
a+b2
,其中A叫做a,b的等差中项.
(3)等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d,可推广为an=am+(n-m)d. (4)等差数列的前n项和公式:Sn=
na1+an2
=na1+
nn-1
2
d.
2.等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系
(1)an=a1+(n-1)d可化为an=dn+a1-d的形式.当d≠0时,an是关于n的一次函数;当d>0时,数列为递增数列;当d<0时,数列为递减数列.
(2)数列{an}是等差数列,且公差不为0?Sn=An+Bn(A,B为常数). [常用结论]
1.已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列,且公差为p.
2.若数列{an}与{bn}均为等差数列,且前n项和分别是Sn和Tn,则
[基础自测]
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.( ) (2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N,都有2an+1=an+an+2.( ) (3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.( ) (4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
2.等差数列{an}中,a4+a8=10,a10=6,则公差d等于( ) 111
A. B. C.2 D.- 422A [∵a4+a8=2a6=10,∴a6=5, 又a10=6,∴公差d=
*2
S2m-1am=. T2m-1bma10-a66-51
10-6
=
4
=.故选A.] 4
- 1 -
3.(教材改编)设数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a6=2且S5=30,则S8等于( ) A.31 B.32 C.33 D.34 B [设数列{an}的公差为d, 法一:由S5=5a3=30得a3=6, 8
又a6=2,∴S8=
a1+a8
2
8=
a3+a6
2
1
=
8
6+2
=32. 2
?
法二:由?5×4
5a+d=30,1?2?
?a1+5d=2,
26
a=,??3得?4
d=-??3.
8×7264
∴S8=8a1+d=8×-28×=32.]
233
4.在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则
d的取值范围为________.
?a8>0,?-1,-7? [由题意可知?
???8???a9<0.?
??7+7d>0,
即?
?7+8d<0?
7
解得-1<d<-.]
8
5.(教材改编)在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8=________. 180 [∵{an}为等差数列,
∴a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450,∴a5=90, ∴a2+a8=2a5=180.]
等差数列基本量的运算
1.若等差数列{an}的前5项和S5=25,且a2=3,则a7=( ) A.12
B.13 C.14
D.15
5
B [由题意得S5=13.故选B.]
2.已知在等差数列{an}中,a1=20,an=54,Sn=3 700,则数列的公差d,项数n分别为( ) A.d=0.34,n=100
B.d=0.34,n=99
3434
C.d=,n=100 D.d=,n=99
9999
a1+a5
2
=5a3=25,a3=5,公差d=a3-a2=2,a7=a2+5d=3+5×2=
an=a1+n-1d,??C [由?nn-1dS,n=na1+?2?
- 2 -
54=20+n-1d,??得?nn-1d3 700=20n+,?2?
34??d=,
解得?99
??n=100.
故选C.]
3.(2018·宁德二模)已知等差数列{an}满足a3+a5=14,a2a6=33,则a1a7=( ) A.33 B.16 C.13 D.12
??a3+a5=14,
C [由?
??a2·a6=33,
??a1+3d=7,
得??a1+5d?a1+d=33,
解得?
?a1=1,???d=2,
或?
?a1=13,?
??d=-2.
当a1=1,d=2时,a7=1+6×2=13,∴a1a7=13; 当a1=13,d=-2时,a7=13+6×(-2)=1,∴a1a7=13. 综上可知a1a7=13.故选C.]
4.(2018·西宁一模)我国古代数学名著《九章算术·均输》中记载了这样一个问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何?”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?”(“钱”是古代一种重量单位).这个问题中,等差数列的通项公式为( ) 17*
A.-n+(n∈N,n≤5)
6613*
B.n+(n∈N,n≤5) 6217*
C.n+(n∈N,n≤5) 6613*
D.-n+(n∈N,n≤5)
62
D [由题意可设五人所得依次对应等差数列中的a1,a2,a3,a4,a5,公差为d,则
??S5=5,?
?a1+a2=a3+a4+a5,?
5×4??5a1+d=5,
2∴?
??2a1+d=3a1+9d,4a=,??3∴?1
d=-??6,
1
4?1?31*
∴通项公式为an=+(n-1)×?-?=-n(n∈N,n≤5),故选D.]
3?6?26[规律方法] 解决等差数列运算问题的思想方法
- 3 -
1方程思想:等差数列的基本量为首项a1和公差d,通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程组求解,等差数列中包含a1,d,n,an,Sn五个量,可“知三求二”. 2整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用a1,d表示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解. 3利用性质:运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程. 等差数列的判定与证明
【例1】 数列{an}满足an+1=
an,a1=1. 2an+1
?1?
(1)证明:数列??是等差数列;
?an?
?1?111n(2)求数列??的前n项和Sn,并证明++…+>.
S1S2Snn+1?an?
[解] (1)证明:∵an+1=∴
1
an, 2an+1
anan+1anan+1
2an+11111=,化简得=2+,即-=2,
anan+1
?1?
故数列??是以1为首项,2为公差的等差数列.
?an?
1
(2)由(1)知=2n-1,
an所以Sn=
n1+2n-1
2
=n.
1
n+1
2
11111111
证明:++…+=2+2+…+2>++…+
S1S2Sn12n1×22×3n1?1n?1??11??1=?1-?+?-?+…+?-=1-=. ?n+1n+1?2??23??nn+1?[规律方法] 等差数列的四个判定方法 1定义法:证明对任意正整数n都有an+1-an等于同一个常数. 2等差中项法:证明对任意正整数n都有2an+1=an+an+2. 3通项公式法:得出an=pn+q后,再根据定义判定数列{an}为等差数列. 4前n项和公式法:得出Sn=An+Bn后,再使用定义法证明数列{an}为等差数列. 已知数列{an}满足a1=1,且nan+1-(n+1)an=2n+2n. (1)求a2,a3;
(2)证明数列??是等差数列,并求{an}的通项公式.
?n??an?
22[解] (1)由已知,得a2-2a1=4, 则a2=2a1+4,又a1=1,所以a2=6. 由2a3-3a2=12,
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